Exercício 11 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
Seja . Existe matriz não nula B, de ordem 2 times 2, tal que A B=02 times 2.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & 23 & 6
e pergunta se existe alguma matriz não nula B de ordem 2times2 tal que
A,B = 02times2
O que precisamos usar aqui é o conceito de espaço nulo (kernel) de A: cada coluna de B deve estar no espaço nulo de A.
Passo 2
Vamos achar o espaço nulo de . Note que as linhas de são proporcionais, pois
logo . Como é , a dimensão do espaço nulo é
Para encontrar um vetor não nulo em , resolvemos
Da primeira linha vem , ou seja . Tomando , um gerador do kernel é
pois .
Passo 3
Para qualquer matriz B=[b1;;b2] de tamanho 2times2, temos
A,B = [,A,b1 ;; A,b2,]
Para que A,B=0 é preciso que A,b1=0 e A,b2=0, isto é, b1 e b2 devem ser múltiplos de v. Basta escolher pelo menos uma coluna não nula. Por exemplo, Ponhamos
B = 2 & 0-1 & 0
Aqui a primeira coluna é l(2,-1r)^T = -1cdot v e a segunda é o vetor zero. Claramente Bneq0 e