Exercício 10. Mostre que os polinômios p1, p2, p3, p4 geram o espaço vetorial real (mathscrP3(R),+, cdot), onde:
p1(x)=1, p2(x)=1-x, p3(x)=(1-x)^2, p4(x)=(1-x)^3, para x in R

Passo 1

O enunciado nos dá quatro polinômios em mathscrP3(R):
p1(x)=1, p2(x)=1-x, p3(x)=(1-x)^2, p4(x)=(1-x)^3
Queremos mostrar que eles geram todo o espaço dos polinômios de grau até 3, ou seja, que os monômios 1,x,x^2,x^3 podem ser escritos como combinação linear de p1,p2,p3,p4.

Passo 2

Para começar, expressamos x em termos de p1 e p2. Note que
p2(x)-p1(x) ;=;(1-x)-1;=;-x
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x ;=;p1(x)-p2(x)

Passo 3

Agora expressamos x^2. Sabemos que
p3(x) ;=;(1-x)^2;=;1-2x+x^2
Isolando x^2, obtemos
x^2 ;=;p3(x);-;1;+;2x ;=;p3(x);-;p1(x);+;2l(p1(x)-p2(x)r)
Portanto
x^2;=;p3+p1-2,p2

Passo 4

Para x^3, usamos
p4(x) ;=;(1-x)^3;=;1-3x+3x^2-x^3
Isolando x^3,
x^3 ;=;1-3x+3x^2-p4(x) ;=;p1-3x+3x^2-p4
Substituindo as expressões de x e x^2 que já temos:
-3x = -3l(p1-p2r), 3x^2=3l(p3+p1-2p2r),
temos
x^3 =p1 -3l(p1-p2r) +3l(p3+p1-2p2r) -p4 ;=;p1-3p2+3p3-p4

Passo 5

Como mostramos que
1=p1, x=p1-p2, x^2=p3+p1-2p2, x^3=p1-3p2+3p3-p4,
os quatro monômios da base padrão de mathscrP3(R) estão em Spanp1,p2,p3,p4. Portanto todo polinômio de grau até 3 é combinação linear de p1,p2,p3,p4.

Resposta

Os polinômios p1,p2,p3,p4 geram mathscrP3(R).

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