Exercício 10. Mostre que os polinômios
geram o espaço vetorial real
, onde:
Passo 1
O enunciado nos dá quatro polinômios em
:
Queremos mostrar que eles geram todo o espaço dos polinômios de grau até 3, ou seja, que os monômios
podem ser escritos como combinação linear de
.
Passo 2
Para começar, expressamos
em termos de
e
. Note que
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Passo 3
Agora expressamos
. Sabemos que
Isolando
, obtemos
Portanto
Passo 4
Para
, usamos
Isolando
,
Substituindo as expressões de
e
que já temos:
temos
Passo 5
Como mostramos que
os quatro monômios da base padrão de
estão em
. Portanto todo polinômio de grau até 3 é combinação linear de
.
Resposta
Os polinômios
geram
.