Exercício 13. Obtenha o subconjunto formado por vetores do espaço vetorial real (mathscrP3(R),+, cdot), que geram os seguintes subespaços:
(a) U=p in mathscrP3(R) ; p(1)=p(0)=0 ;
(b) W=p(t)=a+b t+c t^2+d t^3 in mathscrP3(R) ; 2 c+6 d t=0, para todo t in R;
(c) U cap W.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar subconjuntos geradores (spanning sets) de dois subespaços de mathscrP3(R) e de sua interseção. O espaço todo é formado por polinômios
p(t)=a + b,t + c,t^2 + d,t^3,
de grau até 3, com operação usual. Para gerar cada subespaço, vamos impor as restrições dadas, resolver o sistema de equações lineares sobre os coeficientes a,b,c,d e parametrizar o resultado em termos de vetores (polinômios) livres.

Passo 2

Subespaço U=pinmathscrP3(R);,p(0)=0,;p(1)=0.
  1. p(0)=a=0.
  2. p(1)=a+b+c+d=0 implica b+c+d=0.
    Logo a=0 e b=-c-d. Substituindo em p(t):
p(t)=(-c-d),t + c,t^2 + d,t^3 = c,(t^2 - t) ;+; d,(t^3 - t)
Portanto
U = span,t^2 - t,;t^3 - t

Passo 3

Subespaço W=p(t)=a + b,t + c,t^2 + d,t^3;;2c + 6d,t=0 forall t.
Para a identidade polinomial 2c + 6d,tequiv0 vale que
2c=0, 6d=0
ou seja c=0 e d=0. Sobram a e b livres, então
p(t)=a + b,t
e
W = span,1,;t

Passo 4

Interseção Ucap W. Um pin Ucap W deve estar em W, então p(t)=a+b,t, e simultaneamente em U, o que impõe p(0)=a=0 e p(1)=a+b=0Rightarrow b=0. Logo
p(t)equiv 0
e
Ucap W = 0

Resposta

(a) spant^2 - t,,t^3 - t
(b) span1,,t
(c) 0

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