Exercício 13. Obtenha o subconjunto formado por vetores do espaço vetorial real
, que geram os seguintes subespaços:
(a)
(b)
, para todo
;
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar subconjuntos geradores (spanning sets) de dois subespaços de
e de sua interseção. O espaço todo é formado por polinômios
de grau até 3, com operação usual. Para gerar cada subespaço, vamos impor as restrições dadas, resolver o sistema de equações lineares sobre os coeficientes
e parametrizar o resultado em termos de vetores (polinômios) livres.
Passo 2
Subespaço
.
-
. -
implica .
Logoe . Substituindo em :
Portanto
Passo 3
Subespaço
.
Para a identidade polinomial vale que
Para a identidade polinomial
ou seja
e
. Sobram
e
livres, então
e
Passo 4
Interseção
. Um
deve estar em
, então
, e simultaneamente em
, o que impõe
e
. Logo
e
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)