Seja
o espaço vetorial das funções
sobre
. Verifique se o subconjunto
é subespaço de
nos seguintes casos:
Lembre-se
é par se
para todo
no domínio de
. Por sua vez
é ímpar se
para todo
no domínio de
.
é o conjunto das funções contínuas;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
, ou seja, o conjunto de todas as funções contínuas
com as operações usuais de soma e multiplicação escalar. O subconjunto em questão é
que coincide com
. Para verificar que
é subespaço de
, usamos o teste padrão de subespaço: (i)
; (ii) fechamento por soma; (iii) fechamento por multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
. A função zero, definida por
é contínua, logo
. Assim
não é vazio.
Passo 3
Verificamos o fechamento de
sob soma. Sejam
e
em
. Como soma de funções contínuas é contínua, temos
contínua em
. Portanto
.
Passo 4
Verificamos o fechamento de
sob multiplicação escalar. Se
e
, então
é contínua em
, pois produto de contínuas é contínuo. Logo
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.