Seja V=C(R) o espaço vetorial das funções f: R R sobre R. Verifique se o subconjunto W é subespaço de V nos seguintes casos:
Lembre-se f é par se f(-x)=f(x) para todo x no domínio de f. Por sua vez f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x no domínio de f.
W é o conjunto das funções contínuas;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = C(R), ou seja, o conjunto de todas as funções contínuas fcolonRtoR com as operações usuais de soma e multiplicação escalar. O subconjunto em questão é
W = ,fcolonRtoRmid f é contínua, éí
que coincide com V. Para verificar que W é subespaço de V, usamos o teste padrão de subespaço: (i) Wneqemptyset; (ii) fechamento por soma; (iii) fechamento por multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que Wneqemptyset. A função zero, definida por
0(x)=0para todo xinR,
é contínua, logo 0in W. Assim W não é vazio.

Passo 3

Verificamos o fechamento de W sob soma. Sejam f e g em W. Como soma de funções contínuas é contínua, temos
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
contínua em R. Portanto f+gin W.

Passo 4

Verificamos o fechamento de W sob multiplicação escalar. Se fin W e lambdainR, então
(lambda f)(x)=lambda,f(x)
é contínua em R, pois produto de contínuas é contínuo. Logo lambda fin W.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de V.

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