Exercício 10. O número N é um inteiro que possui representação na base b igual a 777, ou seja, N=(777)_{b}. Calcule o menor inteiro positivo b tal que N é a quarta potência de algum inteiro.

Passo 1

O enunciado dá que um inteiro N tem representação na base b igual a 777, ou seja N=(777)_{b}. Pede-se o menor inteiro positivo b tal que N seja a quarta potência de algum inteiro (isto é, exista inteiro k com N=k^4).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A representação 777 na base b indica que todos os dígitos são 7.
  • O dígito 7 só é válido se b>7 (portanto b\ge 8).
  • Devemos encontrar o menor b\ge 8 que torne N um quarto poder inteiro.

Passo 2

Convertemos a representação na base b para valor decimal (ou inteiro padrão). A regra é: se um número na base b tem dígitos d_2 d_1 d_0, seu valor é d_2 b^2 + d_1 b + d_0. Aplicando aos dígitos 7,7,7 temos
N = 7b^2 + 7b + 7.
Factoramos o 7:
N = 7(b^2+b+1).

Passo 3

Queremos N ser uma quarta potência, isto é, existir inteiro k tal que
N = k^4.
Então
7(b^2+b+1) = k^4.

Passo 4

Vamos usar o princípio sobre expoentes em fatoração prima: para um inteiro ser uma quarta potência, na sua fatoração prima cada expoente deve ser múltiplo de 4. Em particular, considere o fator primo 7. Na fatoração de N o expoente de 7 é
v_7(N) = 1 + v_7(b^2+b+1),
onde v_7(x) é a multiplicidade de 7 em x. Para N ser um quarto poder precisamos de
1 + v_7(b^2+b+1) \equiv 0 \pmod{4}.
Isto implica que v_7(b^2+b+1) \equiv 3 \pmod{4}. O menor inteiro não-negativo congruente a 3 módulo 4 é 3. Logo o caso mais favorável (menor) é
v_7(b^2+b+1)=3,
ou seja, b^2+b+1 é divisível por 7^3=343. Valores maiores de v_7(b^2+b+1) que arem \equiv 3\pmod{4} produzirão b ainda maiores, então para buscar o menor b vale começar com v_7(b^2+b+1)=3.

Passo 5

Se v_7(b^2+b+1)=3 então podemos escrever
b^2+b+1 = 343\cdot s^4,
onde s é um inteiro tal que a parte não-divisível por 7 de b^2+b+1 seja um quarto poder (precisamos disso para que, além do fator 7^4, todos os outros primos também tenham expoentes múltiplos de 4). Portanto procuramos soluções inteiras b\ge 8 e s\ge 1 da equação
b^2+b+1 = 343\,s^4.

Passo 6

Trata-se de uma equação quadrática em b. Vamos escrever a condição discriminante para que b seja inteiro. A equação b^2+b+1 - 343s^4=0 tem discriminante
\Delta = 1 - 4(1-343s^4)=1372\,s^4 - 3.
Para b inteiro precisamos que \Delta seja um quadrado perfeito, digamos \Delta = t^2 para algum inteiro t. Então procuramos s tais que
t^2 = 1372\,s^4 - 3.
Em vez de atacar essa relação em geral, testamos s pequenos (lembrando que se s cresce, o lado direito cresce rápido, o que dará b grande — buscamos o menor b).

Passo 7

Testamos s=1. Então
\Delta = 1372\cdot 1^4 - 3 = 1369.
Verificamos que 1369 = 37^2, ou seja \Delta é quadrado perfeito com t=37. Assim as raízes para b são
b = \frac{-1 \pm 37}{2}.
A raiz positiva é
b = \frac{-1 + 37}{2} = \frac{36}{2} = 18.
Isto satisfaz a restrição b\ge 8. A outra raiz é negativa \frac{-1-37}{2}=-19 e é descartada.

Passo 8

Devemos assegurar que não existe b menor que 18 que funcione. Se s\ge 2 então
b^2+b+1 = 343\,s^4 \ge 343\cdot 2^4 = 343\cdot 16 = 5488.
Daí b^2 \ge 5488- b -1, em particular b^2 \ge 5488- (b+1), mas de modo simples b^2\ge 5488- (b+1)>\! 5488 - (74+1)=5413 para b\le 74; só precisamos do crescimento aproximado: \sqrt{5488}\approx 74{,}1. Logo b\ge 74 quando s\ge2. Portanto nenhum b entre 8 e 73 aparece com s\ge2. Assim o único possível menor candidato encontrado foi o obtido com s=1, isto é b=18.

Passo 9

Verificação direta final: com b=18 temos
b^2+b+1 = 18^2+18+1 = 324+18+1=343,
portanto
N = 7(b^2+b+1)=7\cdot 343 = 2401.
E 2401 = 7^4, isto é N = 7^4. Então k=7 funciona e N é mesmo uma quarta potência. Além disso b=18\ge 8 é válido como base.

Passo 10

Conclusão: o menor inteiro positivo b com N=(777)_b sendo quarta potência é b=18.

Resposta

18

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