Exercício 10. O número
é um inteiro que possui representação na base
igual a 777, ou seja,
. Calcule o menor inteiro positivo
tal que
é a quarta potência de algum inteiro.
Passo 1
O enunciado dá que um inteiro
tem representação na base
igual a
, ou seja
. Pede-se o menor inteiro positivo
tal que
seja a quarta potência de algum inteiro (isto é, exista inteiro
com
).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A representação
na base indica que todos os dígitos são . - O dígito
só é válido se (portanto ). - Devemos encontrar o menor
que torne um quarto poder inteiro.
Passo 2
Convertemos a representação na base
para valor decimal (ou inteiro padrão). A regra é: se um número na base
tem dígitos
, seu valor é
. Aplicando aos dígitos
temos
Factoramos o
:
Passo 3
Queremos
ser uma quarta potência, isto é, existir inteiro
tal que
Então
Passo 4
Vamos usar o princípio sobre expoentes em fatoração prima: para um inteiro ser uma quarta potência, na sua fatoração prima cada expoente deve ser múltiplo de
. Em particular, considere o fator primo
. Na fatoração de
o expoente de
é
onde
é a multiplicidade de
em
. Para
ser um quarto poder precisamos de
Isto implica que
. O menor inteiro não-negativo congruente a
módulo
é
. Logo o caso mais favorável (menor) é
ou seja,
é divisível por
. Valores maiores de
que arem
produzirão
ainda maiores, então para buscar o menor
vale começar com
.
Passo 5
Se
então podemos escrever
onde
é um inteiro tal que a parte não-divisível por
de
seja um quarto poder (precisamos disso para que, além do fator
, todos os outros primos também tenham expoentes múltiplos de
). Portanto procuramos soluções inteiras
e
da equação
Passo 6
Trata-se de uma equação quadrática em
. Vamos escrever a condição discriminante para que
seja inteiro. A equação
tem discriminante
Para
inteiro precisamos que
seja um quadrado perfeito, digamos
para algum inteiro
. Então procuramos
tais que
Em vez de atacar essa relação em geral, testamos
pequenos (lembrando que se
cresce, o lado direito cresce rápido, o que dará
grande — buscamos o menor
).
Passo 7
Testamos
. Então
Verificamos que
, ou seja
é quadrado perfeito com
. Assim as raízes para
são
A raiz positiva é
Isto satisfaz a restrição
. A outra raiz é negativa
e é descartada.
Passo 8
Devemos assegurar que não existe
menor que
que funcione. Se
então
Daí
, em particular
, mas de modo simples
para
; só precisamos do crescimento aproximado:
. Logo
quando
. Portanto nenhum
entre
e
aparece com
. Assim o único possível menor candidato encontrado foi o obtido com
, isto é
.
Passo 9
Verificação direta final: com
temos
portanto
E
, isto é
. Então
funciona e
é mesmo uma quarta potência. Além disso
é válido como base.
Passo 10
Conclusão: o menor inteiro positivo
com
sendo quarta potência é
.
Resposta
18