Exercício 11. Um rei maligno escreveu três números secretos com dois algarismos a, b e c (todos na base 10). Um príncipe generoso precisa dar três números X, Y e Z, depois o rei dirá o soma a X+b Y+c Z. Daí, o príncipe terá que dizer quais são os três números secretos do rei. Caso contrário, ele será executado. Como o príncipe deve proceder para sair dessa situação?

Passo 1

O enunciado diz que o rei escolheu três números secretos com dois algarismos a, b e c (base decimal). O príncipe deve primeiro escolher três números inteiros X, Y e Z. Depois o rei comunica o número
s = aX + bY + cZ.
A partir de s o príncipe precisa descobrir exatamente os três números a, b e c, sob pena de execução. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada um de a,b,c é um número com dois algarismos em base 10, isto é, assumimos 10 \leq a,b,c \leq 99.
  • O príncipe escolhe X,Y,Z antes de receber s.
  • O objetivo é escolher X,Y,Z e um procedimento de decodificação de modo que, dado s, haja uma maneira única e prática de recuperar a,b,c.

Passo 2

Ideia principal (sem ainda propor números): aproveitar o sistema de posições (base 10) para “guardar” cada segredo em blocos distintos do número s. Se eu multiplicar cada segredo por potências suficientemente espaçadas de 10, as contribuições não se misturam: cada segredo ocupa um conjunto diferente de dígitos decimais em s. Vou explicar isso com calma.

Passo 3

Breve lembrança didática sobre sistema posicional (base 10) e por que funciona:
  • Em base 10, escrever um número com dígitos é o mesmo que somar multiplicações por potências de 10: por exemplo, 345 = 3\cdot 10^2 + 4\cdot 10 + 5.
  • Se quisermos armazenar blocos de dois dígitos sem que haja “soma com vai-um” entre blocos, é conveniente usar potências de 10^2 = 100. Por exemplo, c\cdot 10000 + b\cdot 100 + a representa, em blocos de dois dígitos, os valores a (últimos 2 dígitos), b (próximos 2 dígitos) e c (seguindo adiante).
  • Como a,b,c<100, as contribuições ficam perfeitamente separadas se usarmos multiplicadores 1, 100 e 10000 (ou, de modo geral, potências de 100).

Passo 4

Proposta concreta e simples para o príncipe:
  • Escolher
X = 1,\qquad Y = 100,\qquad Z = 10000.
Com essa escolha, o rei devolverá
s = a\cdot 1 + b\cdot 100 + c\cdot 10000.
Escrevendo em ordem, isso é
s = c\cdot 10^4 + b\cdot 10^2 + a,
ou seja, na escrita decimal de s os dois últimos dígitos são exatamente a, os dois dígitos anteriores são b e os dois seguintes são c, porque a,b,c<100.

Passo 5

Prova da unicidade (por que não há ambiguidade): suponha que existam (a,b,c) e (a',b',c') com 10\le a,a',b,b',c,c'\le 99 tal que
a + 100 b + 10000 c = a' + 100 b' + 10000 c'.
Subtraindo os dois lados,
(a-a') + 100(b-b') + 10000(c-c') = 0.
O termo (a-a') tem valor absoluto menor que 100. Os outros termos são múltiplos de 100. Portanto, pela divisibilidade por 100, (a-a') precisa ser múltiplo de 100, o que só é possível se a-a'=0. Logo a=a'. Dividindo a igualdade original por 100 e repetindo o argumento obtemos b=b' e então c=c'. Assim a decomposição é única.

Passo 6

Como recuperar a, b e c a partir de s de forma prática (sem calculadora complicada):
  • O número a é os dois últimos dígitos de s. Em fórmula inteira:
a = s - 100\left\lfloor\frac{s}{100}\right\rfloor.
Isto é, a é o resto da divisão inteira de s por 100.
  • O número b é os dois dígitos seguintes. Em fórmula:
b = \left\lfloor\frac{s}{100}\right\rfloor - 100\left\lfloor\frac{s}{10000}\right\rfloor.
  • O número c é o que sobra nas posições superiores:
c = \left\lfloor\frac{s}{10000}\right\rfloor.
Em linguagem bem prática: olhar os últimos dois dígitos de s = a; apagar esses dois dígitos e olhar os próximos dois = b; apagar esses dois e o que sobra = c.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (divertido): suponha que os segredos do rei sejam a=12, b=34, c=56. Então com X=1, Y=100, Z=10000 obtemos
s = 12 + 34\cdot100 + 56\cdot10000 = 12 + 3400 + 560000 = 563412.
Pegando os dois últimos dígitos de 563412 temos 12 (que é a); tirando esses dois dígitos sobra 5634, cujos dois últimos são 34 (que é b); e o que restou é 56 (que é c). Funcionou bonitinho.

Passo 8

Observações finais e segurança: a escolha X=1, Y=100, Z=10000 é a mais simples e permite decodificação sem ambiguidade com papel e caneta, porque utiliza blocos de dois dígitos. Qualquer outra escolha equivalente seria usar potências de 100 deslocadas, por exemplo X=100^0, Y=100^1, Z=100^2. Não é preciso nenhuma habilidade aritmética avançada além de dividir por 100 e pegar restos ou simplesmente ler os blocos de dígitos.

Resposta

Escolher X=1, Y=100, Z=10000.\nAo receber s calcular\n a = s - 100\left\lfloor\frac{s}{100}\right\rfloor,\n b = \left\lfloor\frac{s}{100}\right\rfloor - 100\left\lfloor\frac{s}{10000}\right\rfloor,\n c = \left\lfloor\frac{s}{10000}\right\rfloor.

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