Exercício 11. Um rei maligno escreveu três números secretos com dois algarismos
e
(todos na base 10). Um príncipe generoso precisa dar três números
e
, depois o rei dirá o soma
. Daí, o príncipe terá que dizer quais são os três números secretos do rei. Caso contrário, ele será executado. Como o príncipe deve proceder para sair dessa situação?
Passo 1
O enunciado diz que o rei escolheu três números secretos com dois algarismos
,
e
(base decimal). O príncipe deve primeiro escolher três números inteiros
,
e
. Depois o rei comunica o número
A partir de
o príncipe precisa descobrir exatamente os três números
,
e
, sob pena de execução. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada um de
é um número com dois algarismos em base 10, isto é, assumimos . - O príncipe escolhe
antes de receber . - O objetivo é escolher
e um procedimento de decodificação de modo que, dado , haja uma maneira única e prática de recuperar .
Passo 2
Ideia principal (sem ainda propor números): aproveitar o sistema de posições (base 10) para “guardar” cada segredo em blocos distintos do número
. Se eu multiplicar cada segredo por potências suficientemente espaçadas de 10, as contribuições não se misturam: cada segredo ocupa um conjunto diferente de dígitos decimais em
. Vou explicar isso com calma.
Passo 3
Breve lembrança didática sobre sistema posicional (base 10) e por que funciona:
- Em base 10, escrever um número com dígitos é o mesmo que somar multiplicações por potências de 10: por exemplo,
. - Se quisermos armazenar blocos de dois dígitos sem que haja “soma com vai-um” entre blocos, é conveniente usar potências de
. Por exemplo, representa, em blocos de dois dígitos, os valores (últimos 2 dígitos), (próximos 2 dígitos) e (seguindo adiante). - Como
, as contribuições ficam perfeitamente separadas se usarmos multiplicadores , e (ou, de modo geral, potências de ).
Passo 4
Proposta concreta e simples para o príncipe:
- Escolher
Com essa escolha, o rei devolverá
Escrevendo em ordem, isso é
ou seja, na escrita decimal de
os dois últimos dígitos são exatamente
, os dois dígitos anteriores são
e os dois seguintes são
, porque
.
Passo 5
Prova da unicidade (por que não há ambiguidade): suponha que existam
e
com
tal que
Subtraindo os dois lados,
O termo
tem valor absoluto menor que
. Os outros termos são múltiplos de
. Portanto, pela divisibilidade por
,
precisa ser múltiplo de
, o que só é possível se
. Logo
. Dividindo a igualdade original por
e repetindo o argumento obtemos
e então
. Assim a decomposição é única.
Passo 6
Como recuperar
,
e
a partir de
de forma prática (sem calculadora complicada):
- O número
é os dois últimos dígitos de . Em fórmula inteira:
Isto é,
é o resto da divisão inteira de
por
.
- O número
é os dois dígitos seguintes. Em fórmula:
- O número
é o que sobra nas posições superiores:
Em linguagem bem prática: olhar os últimos dois dígitos de
=
; apagar esses dois dígitos e olhar os próximos dois =
; apagar esses dois e o que sobra =
.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar (divertido): suponha que os segredos do rei sejam
,
,
. Então com
,
,
obtemos
Pegando os dois últimos dígitos de
temos
(que é
); tirando esses dois dígitos sobra
, cujos dois últimos são
(que é
); e o que restou é
(que é
). Funcionou bonitinho.
Passo 8
Observações finais e segurança: a escolha
,
,
é a mais simples e permite decodificação sem ambiguidade com papel e caneta, porque utiliza blocos de dois dígitos. Qualquer outra escolha equivalente seria usar potências de
deslocadas, por exemplo
,
,
. Não é preciso nenhuma habilidade aritmética avançada além de dividir por
e pegar restos ou simplesmente ler os blocos de dígitos.
Resposta
Escolher
,
,
.\nAo receber
calcular\n
\n
\n