Exercício 12. Em uma de suas aulas, o professor teceu o seguinte comentário:
“No final de uma semana, visitei a fazenda de um amigo e observei que, em um dos cercados, existiam apenas 24 vacas e 32 bezerros, totalizando 100 animais.”
De imediato, os alunos protestaram dizendo ser impossível tal fato, mas o Mestre manteve-se sereno e reafirmou que suas contas estavam corretas e que eles deveriam ver além do convencional. Ouvindo isso, Pitágoras disse:
"É verdade, Mestre, existem outras bases de contagem além da usual. No caso, 24 seria 24=2.10^{1}+4.10^{0}, se a base de contagem fosse 10, mas não é, deve ser uma base b tal que (24)_{b}=2 . b^{1}+4 . b^{0} .^{\prime \prime}
O comentário do professor está correto, mas como bem observou Pitágoras, o sistema de numeração utilizado não é o decimal, qual foi a base numérica utilizada pelo professor?

Passo 1

O enunciado diz que, no cercado, existem os números escritos assim: 24, 32 e 100, e que esses números representam, em alguma base de numeração não-decimal, respectivamente “24 vacas”, “32 bezerros” e “100 animais” (ou seja, a soma dos dois primeiros dá o terceiro). A pergunta é: qual é a base de numeração b que o professor usou?
Informações relevantes que temos do enunciado:
(24)_{b},\quad (32)_{b},\quad (100)_{b}
e a igualdade entre quantidades:
(24)_{b} + (32)_{b} = (100)_{b}.

Passo 2

Entendendo como funciona um número em base b (aula rápida, sem pânico). Num sistema posicional de base b, cada dígito representa um coeficiente multiplicando uma potência de b. Exemplos e fórmula:
  • Um número com dois dígitos ab (onde a e b são dígitos) representa a\cdot b^{1} + b\cdot b^{0}. Para não confundir, vou usar letras diferentes: o número (24)_{b} significa
(24)_{b} = 2\cdot b^{1} + 4\cdot b^{0}.
  • Similarmente,
(32)_{b} = 3\cdot b^{1} + 2\cdot b^{0}.
  • O número (100)_{b} tem três dígitos e equivale a
(100)_{b} = 1\cdot b^{2} + 0\cdot b^{1} + 0\cdot b^{0} = b^{2}.
Observação importante: para a representação (24)_{b} ser válida, a base b deve ser maior que qualquer dígito usado; aqui os dígitos são 0,1,2,3,4, logo precisamos de b>4.

Passo 3

Agora traduzimos a condição do enunciado para uma equação em b. Usando as expressões do passo anterior:
(24)_{b} + (32)_{b} = (100)_{b}
torna-se
(2\cdot b + 4) + (3\cdot b + 2) = b^{2}.
Somando os termos do lado esquerdo, passo a passo:
2\cdot b + 3\cdot b = 5\cdot b,
4 + 2 = 6,
portanto
5\cdot b + 6 = b^{2}.
Reorganizando para formar uma equação quadrática padrão:
b^{2} - 5b - 6 = 0.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática. Uso a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara), que diz que as raízes de \,ax^{2}+bx+c=0 são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui temos a=1, b=-5 (atenção: este b é o coeficiente da equação; para evitar confusão, lembro que estamos resolvendo para a mesma incógnita chamada b), c=-6. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-5)^{2} - 4\cdot 1\cdot(-6) = 25 + 24 = 49.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{49}=7. Aplicando a fórmula:
b = \frac{5 \pm 7}{2}.
Isso nos dá duas soluções numéricas:
b = \frac{5+7}{2} = \frac{12}{2} = 6
e
b = \frac{5-7}{2} = \frac{-2}{2} = -1.

Passo 5

Agora avaliamos quais soluções são admissíveis como base de numeração. Critérios:
  • A base deve ser um número inteiro positivo (não faz sentido base negativa ou não inteira para este problema).
  • A base deve ser maior que qualquer dígito usado na escrita dos números; aqui o maior dígito é 4, então precisamos de b\ge5.
    Das duas soluções achadas, b=-1 é descartada (não é positiva). A outra solução é b=6, que é um inteiro maior que 4, portanto válida. Não há outras soluções possíveis.

Passo 6

Vamos checar rapidamente a consistência com uma conta simples em base decimal (para ter confiança): convertendo para decimal usando b=6,
(24)_{6} = 2\cdot 6 + 4 = 12 + 4 = 16,
(32)_{6} = 3\cdot 6 + 2 = 18 + 2 = 20,
e a soma
16 + 20 = 36.
E
(100)_{6} = 1\cdot 6^{2} = 36.
As contas batem — portanto a base 6 é consistente com o enunciado.

Resposta

6

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