Exercício 12. Em uma de suas aulas, o professor teceu o seguinte comentário:
“No final de uma semana, visitei a fazenda de um amigo e observei que, em um dos cercados, existiam apenas 24 vacas e 32 bezerros, totalizando 100 animais.”
De imediato, os alunos protestaram dizendo ser impossível tal fato, mas o Mestre manteve-se sereno e reafirmou que suas contas estavam corretas e que eles deveriam ver além do convencional. Ouvindo isso, Pitágoras disse:
"É verdade, Mestre, existem outras bases de contagem além da usual. No caso, 24 seria
, se a base de contagem fosse 10, mas não é, deve ser uma base
tal que
O comentário do professor está correto, mas como bem observou Pitágoras, o sistema de numeração utilizado não é o decimal, qual foi a base numérica utilizada pelo professor?
“No final de uma semana, visitei a fazenda de um amigo e observei que, em um dos cercados, existiam apenas 24 vacas e 32 bezerros, totalizando 100 animais.”
"É verdade, Mestre, existem outras bases de contagem além da usual. No caso, 24 seria
, se a base de contagem fosse 10, mas não é, deve ser uma base
tal que
Passo 1
O enunciado diz que, no cercado, existem os números escritos assim:
,
e
, e que esses números representam, em alguma base de numeração não-decimal, respectivamente “24 vacas”, “32 bezerros” e “100 animais” (ou seja, a soma dos dois primeiros dá o terceiro). A pergunta é: qual é a base de numeração
que o professor usou?
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
e a igualdade entre quantidades:
Passo 2
Entendendo como funciona um número em base
(aula rápida, sem pânico). Num sistema posicional de base
, cada dígito representa um coeficiente multiplicando uma potência de
. Exemplos e fórmula:
- Um número com dois dígitos
(onde e são dígitos) representa . Para não confundir, vou usar letras diferentes: o número significa
- Similarmente,
- O número
tem três dígitos e equivale a
Observação importante: para a representação
ser válida, a base
deve ser maior que qualquer dígito usado; aqui os dígitos são
, logo precisamos de
.
Passo 3
Agora traduzimos a condição do enunciado para uma equação em
. Usando as expressões do passo anterior:
torna-se
Somando os termos do lado esquerdo, passo a passo:
portanto
Reorganizando para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática. Uso a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara), que diz que as raízes de
são
Aqui temos
,
(atenção: este
é o coeficiente da equação; para evitar confusão, lembro que estamos resolvendo para a mesma incógnita chamada
),
. Calculamos o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
. Aplicando a fórmula:
Isso nos dá duas soluções numéricas:
e
Passo 5
Agora avaliamos quais soluções são admissíveis como base de numeração. Critérios:
- A base deve ser um número inteiro positivo (não faz sentido base negativa ou não inteira para este problema).
- A base deve ser maior que qualquer dígito usado na escrita dos números; aqui o maior dígito é
, então precisamos de .
Das duas soluções achadas,é descartada (não é positiva). A outra solução é , que é um inteiro maior que , portanto válida. Não há outras soluções possíveis.
Passo 6
Vamos checar rapidamente a consistência com uma conta simples em base decimal (para ter confiança): convertendo para decimal usando
,
e a soma
E
As contas batem — portanto a base
é consistente com o enunciado.