A vida útil (em horas) de um tipo de lâmpada é aproximadamente normal com média μ=1100 e desvio padrão σ=130 \mathrm{~h}
Qual a probabilidade de uma lâmpada durar entre 1000 h e 1200 h ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A vida útil X de uma lâmpada é aproximadamente normal com média \mu=1100 horas e desvio padrão \sigma=130 horas.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de uma lâmpada durar entre 1000 h e 1200 h, ou seja, calcular \mathbb{P}(1000<X<1200).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): quando uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escreve-se X\sim N(\mu,\sigma^2). Para usar tabelas ou calculadora é prático padronizar X em uma variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1. A padronização é feita por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z segue a distribuição normal padrão N(0,1). A ideia é transformar o intervalo em X para um intervalo em Z e usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(\cdot). Em palavras: primeiro passo é transformar os limites em escores z; segundo passo é buscar esses z na tabela (ou usar uma calculadora).

Passo 3

Calcular os escores z dos limites 1000 e 1200 usando a fórmula da padronização.
Para o limite inferior 1000:
z_{\text{inf}}=\frac{1000-\mu}{\sigma}=\frac{1000-1100}{130}=\frac{-100}{130}=-\frac{10}{13}\approx-0,76923.
Para o limite superior 1200:
z_{\text{sup}}=\frac{1200-\mu}{\sigma}=\frac{1200-1100}{130}=\frac{100}{130}=\frac{10}{13}\approx0,76923.
Logo
\mathbb{P}(1000<X<1200)=\mathbb{P}\!\left(-0,76923<Z<0,76923\right).

Passo 4

Usar a função de distribuição da normal padrão. Temos
\mathbb{P}\!\left(-0,76923<Z<0,76923\right)=\Phi(0,76923)-\Phi(-0,76923).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
\Phi(0,76923)-\Phi(-0,76923)=\Phi(0,76923)-(1-\Phi(0,76923))=2\Phi(0,76923)-1.
Então basta obter \Phi(0,76923) numa tabela ou calculadora.

Passo 5

Consultar tabela da Normal padrão (ou calculadora). Usando a tabela: valores próximos são
\Phi(0,76)=0,7764,\qquad \Phi(0,77)=0,7794.
Interpolando para z=0,76923 (que está a 0{,}923 do caminho entre 0{,}76 e 0{,}77):
\Phi(0,76923)\approx0,7764+0{,}923\cdot(0,7794-0,7764)\approx0,77917.
Agora calculamos a probabilidade:
\mathbb{P}(1000<X<1200)=2\cdot0,77917-1=0,55834\approx0,5583.
Interpretação simpática: cerca de 55{,}83\% das lâmpadas duram entre 1000 h e 1200 h.

Resposta

0,5583 (aproximadamente 55{,}83\%)

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