Exercício 1.2.10. De quantas maneiras distintas podemos colocar num tabuleiro de xadrez um rei branco e um preto de modo que um não ataque o outro?

Passo 1

Estamos no tema de contagem de configurações em um tabuleiro de xadrez 8times8. Precisamos contar de quantas formas podemos colocar um rei branco e um rei preto em casas distintas de modo que eles não se ataquem, ou seja, que a distância de Chebyshev entre eles seja pelo menos 2.

Passo 2

Primeiro calculamos o número total de colocações sem restrição. Como temos 64 casas e os reis são distinguíveis (branco e preto), escolhemos uma casa para o rei branco e outra para o rei preto:
64 times 63 ;=; 4032

Passo 3

Agora contamos quantas dessas posições são ilegais, ou seja, em que os reis se atacam. Um rei ataca todas as casas adjacentes (horizontal, vertical ou diagonal), até 8 casas por posição. Para cada casa onde colocamos o rei branco, o número de casas que o rei preto não pode ocupar é igual ao grau dessa casa no grafo de adjacência.

Passo 4

Classificamos as casas e somamos seus graus:
&Cantoneiras (4 casas):&°=3, &Arestas sem cantoneira (24 casas):&°=5, &Interior (36 casas):&°=8
Logo,
4cdot3 ;+;24cdot5;+;36cdot8 ;=;12 + 120 + 288 = 420
Esse é o total de posições ilegais (contadas em ordem: rei branco primeiro, depois rei preto).

Passo 5

O número de colocações válidas é
4032 - 420 = 3612

Resposta

3612 maneiras distintas.

Exercícios relacionados