Exercício 10 Resolva a seguinte equação 1+integral0^t cos (t-tau) y(tau) d tau=y(t).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação integral de Volterra do 2º tipo
1 + integral0^tcos(t-tau),y(tau),dtau ;=; y(t),
que é um caso de convolução. Para resolver, vamos usar a transformada de Laplace e a propriedade
L!integral0^tf(t-tau),g(tau),dtau=Lf(s),Lg(s)

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em ambos os lados, com Y(s)=Ly(t), temos
L1=1/s e
Lcos(t-tau)*y(tau) = Lcos t,Y(s) = ss^2+1,Y(s).
Logo,
Y(s) ;=;1s ;+;ss^2+1,Y(s)

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)l(1-ss^2+1r) =1s ;Longrightarrow; Y(s) =1s,s^2+1s^2+1 - s =s^2+1s,(s^2 - s +1)

Passo 4

Fazemos frações parciais:
s^2+1s(s^2 - s +1) =As+Bs+Cs^2 - s +1
Igualando numeradores chega-se a
A=1, B=0, C=1,
portanto
Y(s)=1s+1s^2 - s +1

Passo 5

Para inverter a segunda parcela, completamos o quadrado:
s^2 - s +1 = l(s-tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2
Isto permite escrever
1s^2 - s +1 =2raiz3,tfracraiz32(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2,
e usar a transformada inversa
L^-1!lb(s-a)^2+b^2r =e^atsin(bt)

Passo 6

Aplicando transformada inversa em cada termo:
L^-1tfrac1s=1, L^-1ltfrac2raiz3,tfracraiz32(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2r =2raiz3,e^t/2sin!l(tfracraiz32tr)
Logo
y(t)=1+2raiz3,e^t/2sin!l(tfracraiz32tr)

Resposta

y(t)=1+2raiz3,e^t/2sin!l(raiz32tr)

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