• Exercício 10: Resolva o sistema linear 3x3 abaixo utilizando a decomposição LU:
2x+y-z = 1
-3x-y+2z=-2
-2x+y+2z=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
2x+y-z = 1, -3x-y+2z = -2, -2x+y+2z = 3
usando a decomposição A = LU. Vamos montar a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b, depois obter L e U pelo método de Doolittle (onde L tem uns na diagonal) e, por fim, resolver Ly = b e Ux = y.

Passo 2

Escrevemos
A = 2 & 1 & -1 -3 & -1 & 2 -2 & 1 & 2 , b = 1-23,
e assumimos
L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 3

Calculamos a primeira linha de U e a primeira coluna de L:
u11 = 2, u12 = 1, u13 = -1,
ell21 = -3u11 = -tfrac32, ell31 = -2u11 = -1

Passo 4

Agora determinamos u22, u23, ell32 e u33:
u22 = a22 - ell21u12 = -1 - l(-tfrac32r)cdot 1 = -1 + tfrac32 = tfrac12,
u23 = a23 - ell21u13 = 2 - l(-tfrac32r)cdot(-1) = 2 - tfrac32 = tfrac12,
ell32 = a32 - ell31u12u22 = 1 - (-1)cdot1tfrac12 = 2tfrac12 = 4,
u33 = a33 - ell31u13 - ell32u23 = 2 - (-1)(-1) - 4cdottfrac12 = 2 - 1 - 2 = -1

Passo 5

Resolvemos Ly = b:
y1 = 1,
y2 = -2 - ell21y1 = -2 - l(-tfrac32r)cdot1 = -tfrac12,
y3 = 3 - ell31y1 - ell32y2 = 3 - (-1)cdot1 - 4cdotl(-tfrac12r) = 6

Passo 6

Resolvemos Ux = y:
u33x3 = y3implies -1cdot x3 = 6implies x3 = -6,
u22x2 + u23x3 = y2 implies tfrac12,x2 + tfrac12,(-6) = -tfrac12 implies x2 + (-6) = -1 implies x2 = 5,
u11x1 + u12x2 + u13x3 = y1 implies 2x1 + 1cdot5 + (-1)cdot(-6) = 1 implies 2x1 + 11 = 1 implies x1 = -5

Resposta

(x,y,z) = (-5,,5,,-6)

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