Sabendo que o ponto P=(-3, y, z) pertence à reta que passa pelos pontos A=(1,-2,4) e B=(-1,-3,1), determone os valores de y e z.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde temos uma reta no espaço tridimensional. O ponto P = (-3, y, z) está nessa reta que passa pelos pontos A = (1, -2, 4) e B = (-1, -3, 1) . Nosso objetivo é encontrar os valores de y e z para o ponto P .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como descrever uma reta no espaço. Uma maneira de fazer isso é usando equações paramétricas. Para a reta que passa pelos pontos A e B , podemos encontrar um vetor diretor, que é basicamente a direção da reta.

Passo 3

O vetor diretor AB é obtido subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B :
AB = B - A = (-1 - 1, -3 - (-2), 1 - 4) = (-2, -1, -3)
Então, nosso vetor diretor é d = (-2, -1, -3) .

Passo 4

Com o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Se considerarmos um parâmetro t , as equações ficam:
x = 1 + (-2)t
y = -2 + (-1)t
z = 4 + (-3)t
Simplificando:
x = 1 - 2t
y = -2 - t
z = 4 - 3t

Passo 5

Sabemos que o ponto P tem coordenada x = -3 . Vamos usar isso para encontrar o valor de t . Igualando a equação de x :
-3 = 1 - 2t
Resolvendo para t :
-3 - 1 = -2t
-4 = -2t
t = 2

Passo 6

Agora que temos t = 2 , vamos usar esse valor para encontrar y e z usando as equações paramétricas.
Para y :
y = -2 - t = -2 - 2 = -4
Para z :
z = 4 - 3t = 4 - 3(2) = 4 - 6 = -2

Resposta

Os valores de y e z são y = -4 e z = -2 .

Exercícios relacionados