Use o método de Gauss-Jordan para colocar as matrizes a seguir na sua forma escalonada reduzida.
(ccccc2 & 4 & 0 & 0 & 2 3 & 3 & 1 & -1 & 1 2 & -1 & 5 & 0 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método de Gauss-Jordan para transformar a matriz dada na sua forma escalonada reduzida. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente manipula matrizes para resolver sistemas lineares de equações. Vamos precisar fazer operações nas linhas da matriz para chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente tem:
2 & 4 & 0 & 0 & 2 3 & 3 & 1 & -1 & 1 2 & -1 & 5 & 0 & 0
O objetivo é transformar essa matriz para que cada linha comece com um 1 (chamado de pivô) e que abaixo e acima desses pivôs tudo seja zero.

Passo 3

Vamos começar normalizando a primeira linha para que o primeiro elemento seja 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
12 times Linha 1 Linha 1
Isso resulta em:
1 & 2 & 0 & 0 & 1 3 & 3 & 1 & -1 & 1 2 & -1 & 5 & 0 & 0

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 - 3 times Linha 1 Linha 2
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 - 2 times Linha 1 Linha 3
Realizando essas operações, temos:
1 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & -3 & 1 & -1 & -2 0 & -5 & 5 & 0 & -2

Passo 5

Agora, vamos normalizar o segundo pivô, que está na posição (2,2). Primeiro, multiplicamos a segunda linha por -1/3 para que o pivô seja 1:
-13 times Linha 2 Linha 2
Isso resulta em:
1 & 2 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & -13 & 13 & 23 0 & -5 & 5 & 0 & -2

Passo 6

Vamos zerar os elementos acima e abaixo desse pivô na segunda coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
Linha 1 - 2 times Linha 2 Linha 1
  • Adicionamos 5 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 + 5 times Linha 2 Linha 3
Realizando essas operações, temos:
1 & 0 & 23 & -23 & 13 0 & 1 & -13 & 13 & 23 0 & 0 & 103 & 53 & 43

Passo 7

Agora, vamos normalizar o terceiro pivô, que está na posição (3,3). Multiplicamos a terceira linha por 310 :
310 times Linha 3 Linha 3
Isso resulta em:
1 & 0 & 23 & -23 & 13 0 & 1 & -13 & 13 & 23 0 & 0 & 1 & 12 & 25

Passo 8

Finalmente, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô na terceira coluna:
  • Subtraímos 23 vezes a terceira linha da primeira linha:
Linha 1 - 23 times Linha 3 Linha 1
  • Subtraímos -13 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 + 13 times Linha 3 Linha 2
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0 & 0 & -1 & 15 0 & 1 & 0 & 12 & 815 0 & 0 & 1 & 12 & 25

Resposta

A forma escalonada reduzida da matriz é:
1 & 0 & 0 & -1 & 15 0 & 1 & 0 & 12 & 815 0 & 0 & 1 & 12 & 25

Exercícios relacionados