Exercício 4.8.10. Seja F: V \rightarrow W uma aplicação linear e \mathcal{B}=\left\{\mathbf{e}_{\mathbf{1}}, \ldots \mathbf{e}_{\mathbf{n}}\right\} uma base de V. Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) Os vetores F\left(\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\right) são uma base de W.
b) Os vetores F\left(\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\right) são geradores de W.
c) Se F è injetiva os vetores F\left(\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\right) formam uma base de W.
d) Os vetores F\left(\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\right) são geradores de \operatorname{Im} F.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
F:V\to W
e uma base \mathcal{B}=\{e_1,\dots,e_n\} de V. Precisamos decidir se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, usando os conceitos de base (conjunto gerador e linearmente independente), imagem de F, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

a) “Os vetores F(e_i) são uma base de W.”
Para que \{F(e_i)\} seja base de W é preciso que ela seja linearmente independente e gere todo W. Mas não sabemos se F é injetiva (para independência) nem se é sobrejetiva (para gerar). Por exemplo, se F for o mapa zero, então F(e_i)=0 para todo i e não se obtém nem independência nem geração de W.
Conclusão: a) é falsa.

Passo 3

b) “Os vetores F(e_i) são geradores de W.”
Para gerar W seria necessário que F fosse sobrejetiva. Como isso não foi dado, pode acontecer que \operatorname{Im}F\subsetneq W. Em particular, novamente no caso de F não ser sobrejetiva ou ser o mapa zero, \{F(e_i)\} não gera W.
Conclusão: b) é falsa.

Passo 4

c) “Se F é injetiva, os vetores F(e_i) formam uma base de W.”
Injetividade garante que \{F(e_i)\} é linearmente independente em W. Porém não garante que ela gere todo W, apenas gera \operatorname{Im}F. Se \dim W>n, mesmo sendo independentes, faltam vetores para abranger W. Exemplo: inclusão de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3 é injetiva mas suas duas imagens não geram \mathbb{R}^3.
Conclusão: c) é falsa.

Passo 5

d) “Os vetores F(e_i) são geradores de \operatorname{Im}F.”
Por definição,
\operatorname{Im}F=\{F(v)\mid v\in V\}.
Como \{e_i\} é base de V, qualquer v\in V escreve-se
v=\sum_{i=1}^n x_i\,e_i,
e pela linearidade
F(v)=\sum_{i=1}^n x_i\,F(e_i).
Isto mostra que todo vetor em \operatorname{Im}F é combinação linear de \{F(e_i)\}.
Conclusão: d) é verdadeira.

Resposta

a) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Verdadeira.

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