Exercício 4.8.10. Seja
uma aplicação linear e
uma base de
. Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) Os vetores
são uma base de
.
b) Os vetores
são geradores de
.
c) Se
è injetiva os vetores
formam uma base de
.
d) Os vetores
são geradores de
.
a) Os vetores
b) Os vetores
c) Se
d) Os vetores
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
e uma base
de
. Precisamos decidir se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, usando os conceitos de base (conjunto gerador e linearmente independente), imagem de
, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
a) “Os vetores
são uma base de
.”
Para que seja base de
é preciso que ela seja linearmente independente e gere todo
. Mas não sabemos se
é injetiva (para independência) nem se é sobrejetiva (para gerar). Por exemplo, se
for o mapa zero, então
para todo
e não se obtém nem independência nem geração de
.
Conclusão: a) é falsa.
Para que
Conclusão: a) é falsa.
Passo 3
b) “Os vetores
são geradores de
.”
Para gerar seria necessário que
fosse sobrejetiva. Como isso não foi dado, pode acontecer que
. Em particular, novamente no caso de
não ser sobrejetiva ou ser o mapa zero,
não gera
.
Conclusão: b) é falsa.
Para gerar
Conclusão: b) é falsa.
Passo 4
c) “Se
é injetiva, os vetores
formam uma base de
.”
Injetividade garante que é linearmente independente em
. Porém não garante que ela gere todo
, apenas gera
. Se
, mesmo sendo independentes, faltam vetores para abranger
. Exemplo: inclusão de
em
é injetiva mas suas duas imagens não geram
.
Conclusão: c) é falsa.
Injetividade garante que
Conclusão: c) é falsa.
Passo 5
d) “Os vetores
são geradores de
.”
Por definição,
Por definição,
Como
é base de
, qualquer
escreve-se
e pela linearidade
Isto mostra que todo vetor em
é combinação linear de
.
Conclusão: d) é verdadeira.
Conclusão: d) é verdadeira.
Resposta
a) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Verdadeira.