Exercício 4.8.13. Considere a aplicação linear
tal que
, onde
è a base canônica de
. Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) o vetor (1, 1, 1) possui uma única contra-imagem;
b)
è inversível;
c)
;
d)
.
a) o vetor (1, 1, 1) possui uma única contra-imagem;
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado define uma aplicação linear
pelas imagens na base canônica:
pelas imagens na base canônica:
Precisamos verificar a veracidade de quatro afirmações sobre pré-imagens, invertibilidade, imagem e núcleo de
.
Passo 2
Para
, temos
Em coordenadas,
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto de
tais que
Daí
e
, logo
que tem dimensão 1.
Passo 4
A imagem de
é o conjunto de vetores da forma
com
. Logo
que é um subespaço de dimensão 2.
Passo 5
Uma aplicação linear
é invertível se, e somente se,
. Aqui
, portanto
não é inversível.
Passo 6
Para ver se
tem pré-imagem única, resolvemos
Isso exigiria
, impossível. Logo não existe nenhuma pré-imagem de
.
Passo 7
Verificamos
computando
logo
.
Resposta
(a) Falsa. Não existe pré-imagem de
.
(b) Falsa. , logo
não é inversível.
(c) Verdadeira. .
(d) Falsa. .
(b) Falsa.
(c) Verdadeira. .
(d) Falsa.