Exercício 4.8.9. Seja F: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} uma aplicação linear. Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) Se m>n, então F é sobrejetiva.
b) Se m<n, então F é injetiva.
c) Se m=n e F è injetiva, então F é um isomorfismo.
d) Se F è sobrejetiva, então f è injetiva e m=n.

Passo 1

O enunciado considera uma aplicação linear \displaystyle F\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n
e pede para julgar as afirmações (a)–(d). O conteúdo chave é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e o fato de que a dimensão da imagem satisfaz \dim(\mathrm{im}F)\le\min(m,n).

Passo 2

Pela teoria de espaços vetoriais, vale o Teorema do Núcleo e Imagem:
\dim(\ker F)+\dim(\mathrm{im}F)=m,
e sempre \displaystyle \dim(\mathrm{im}F)\le\min(m,n).

Passo 3

Analisando (a): “Se m>n, então F é sobrejetiva.”
— Para ser sobrejetiva precisamos de \mathrm{im}F=\mathbb{R}^n, ou seja \dim(\mathrm{im}F)=n. Mas só sabemos \dim(\mathrm{im}F)\le n, e nada impede que a desigualdade seja estrita.
— Contraexemplo: F\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por F(x,y,z)=(x,0) tem m=3>2=n e não atinge vetores (0,1), logo não é sobrejetiva.
Logo (a) é falsa.

Passo 4

Analisando (b): “Se m<n, então F é injetiva.”
— Injetividade exige \ker F=\{0\}, ou seja \dim(\ker F)=0. Do rank–nullity teríamos \dim(\mathrm{im}F)=m. Mas também sabemos \dim(\mathrm{im}F)\le m, então pode ocorrer \dim(\mathrm{im}F)<m, isto é \dim(\ker F)>0.
— Contraexemplo: F\colon\mathbb{R}^1\to\mathbb{R}^2 nula, F(x)=(0,0), não é injetiva embora 1<2.
Logo (b) é falsa.

Passo 5

Analisando (c): “Se m=n e F é injetiva, então F é um isomorfismo.”
— Se m=n e \ker F=\{0\}, pelo rank–nullity temos \dim(\mathrm{im}F)=n, isto é \mathrm{im}F=\mathbb{R}^n. Logo F é sobrejetiva e, sendo injetiva e sobrejetiva entre espaços de mesma dimensão, é isomorfismo.
Logo (c) é verdadeira.

Passo 6

Analisando (d): “Se F é sobrejetiva, então F é injetiva e m=n.”
— Sobrejetividade dá \dim(\mathrm{im}F)=n. Pelo rank–nullity \dim(\ker F)=m-n, que só vale zero (injetividade) se m=n. Mas nada impede m>n com \dim(\ker F)=m-n>0, pois há mapas sobrejetivos não injetivos.
— Contraexemplo: projeção F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^1,\;F(x,y)=x é sobrejetiva mas não injetiva e m\neq n.
Logo (d) é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.

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