Exercício 4.8.9. Seja
uma aplicação linear. Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) Se
, então
é sobrejetiva.
b) Se
, então
é injetiva.
c) Se
e
è injetiva, então
é um isomorfismo.
d) Se
è sobrejetiva, então
è injetiva e
.
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
Passo 1
O enunciado considera uma aplicação linear
e pede para julgar as afirmações (a)–(d). O conteúdo chave é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e o fato de que a dimensão da imagem satisfaz .
e pede para julgar as afirmações (a)–(d). O conteúdo chave é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) e o fato de que a dimensão da imagem satisfaz
Passo 2
Pela teoria de espaços vetoriais, vale o Teorema do Núcleo e Imagem:
e sempre
.
Passo 3
Analisando (a): “Se
, então
é sobrejetiva.”
— Para ser sobrejetiva precisamos de , ou seja
. Mas só sabemos
, e nada impede que a desigualdade seja estrita.
— Contraexemplo: dada por
tem
e não atinge vetores
, logo não é sobrejetiva.
Logo (a) é falsa.
— Para ser sobrejetiva precisamos de
— Contraexemplo:
Logo (a) é falsa.
Passo 4
Analisando (b): “Se
, então
é injetiva.”
— Injetividade exige , ou seja
. Do rank–nullity teríamos
. Mas também sabemos
, então pode ocorrer
, isto é
.
— Contraexemplo: nula,
, não é injetiva embora
.
Logo (b) é falsa.
— Injetividade exige
— Contraexemplo:
Logo (b) é falsa.
Passo 5
Analisando (c): “Se
e
é injetiva, então
é um isomorfismo.”
— Se e
, pelo rank–nullity temos
, isto é
. Logo
é sobrejetiva e, sendo injetiva e sobrejetiva entre espaços de mesma dimensão, é isomorfismo.
Logo (c) é verdadeira.
— Se
Logo (c) é verdadeira.
Passo 6
Analisando (d): “Se
é sobrejetiva, então
é injetiva e
.”
— Sobrejetividade dá . Pelo rank–nullity
, que só vale zero (injetividade) se
. Mas nada impede
com
, pois há mapas sobrejetivos não injetivos.
— Contraexemplo: projeção é sobrejetiva mas não injetiva e
.
Logo (d) é falsa.
— Sobrejetividade dá
— Contraexemplo: projeção
Logo (d) é falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.