Exercício 4.8.11. Dada uma aplicação linear F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, com matriz representativa M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}} (com respeito, por exemplo, às bases canônicas \mathcal{B}_{3} e \mathcal{B}_{2} de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2} ). Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) se \operatorname{rk}\left(M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}}\right)=2, então F é injetiva;
b) em nenhum caso F pode ser injetiva;
c) \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} F)<\operatorname{dim}(\operatorname{Im} F);
d) r k\left(M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}}\right) \geq 1.

Passo 1

O enunciado trata de uma aplicação linear \;F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
cuja matriz em bases canônicas tem posto \operatorname{rk}(M_F)=r.
Para resolver, vamos usar o Teorema do Posto e da Nulidade, que diz que
\dim(\ker F)+\dim(\mathrm{Im}\,F)=\dim(\mathbb{R}^3)=3,
além do fato de que \mathrm{Im}\,F tem dimensão igual ao posto r, e \ker F tem dimensão 3-r.

Passo 2

Análise da afirmação (a):
“Se \operatorname{rk}(M_F)=2, então F é injetiva.”
Para F ser injetiva precisamos de \ker F=\{0\}, isto é \dim(\ker F)=0.
Mas se r=2 então
\dim(\ker F)=3-r=3-2=1>0,
logo existe vetor não nulo no núcleo e F não é injetiva.
Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação (b):
“Em nenhum caso F pode ser injetiva.”
Como o posto máximo de um mapa de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2 é \min(3,2)=2<3, sempre teremos \dim(\ker F)=3-r>0.
Isto garante que \ker F\neq\{0\} para toda aplicação desse tipo, ou seja, F nunca é injetiva.
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação (c): \dim(\ker F)<\dim(\mathrm{Im}\,F).
Temos \dim(\ker F)=3-r e \dim(\mathrm{Im}\,F)=r.
A desigualdade 3-r<r equivale a 3<2r, isto é r>1{,}5.
Como r é inteiro, isso só ocorre para r=2.
Mas r pode também ser 0 ou 1, casos em que a desigualdade falha.
Logo a afirmação não vale para toda aplicação e é falsa.

Passo 5

Análise da afirmação (d): \operatorname{rk}(M_F)\ge1.
O posto pode ser zero se F for a aplicação nula (toda coluna da matriz nula).
Nesse caso r=0<1.
Portanto não é garantido que r\ge1 e a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa

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