Exercício 4.8.11. Dada uma aplicação linear
, com matriz representativa
(com respeito, por exemplo, às bases canônicas
e
de
e
). Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) se
, então
é injetiva;
b) em nenhum caso
pode ser injetiva;
c)
;
d)
.
a) se
b) em nenhum caso
c)
d)
Passo 1
O enunciado trata de uma aplicação linear
,
cuja matriz em bases canônicas tem posto .
Para resolver, vamos usar o Teorema do Posto e da Nulidade, que diz que
cuja matriz em bases canônicas tem posto
Para resolver, vamos usar o Teorema do Posto e da Nulidade, que diz que
além do fato de que
tem dimensão igual ao posto
, e
tem dimensão
.
Passo 2
Análise da afirmação (a):
“Se , então
é injetiva.”
Para ser injetiva precisamos de
, isto é
.
Mas se então
“Se
Para
Mas se
logo existe vetor não nulo no núcleo e
não é injetiva.
Portanto (a) é falsa.
Portanto (a) é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação (b):
“Em nenhum caso pode ser injetiva.”
Como o posto máximo de um mapa de em
é
, sempre teremos
.
Isto garante que para toda aplicação desse tipo, ou seja,
nunca é injetiva.
Portanto (b) é verdadeira.
“Em nenhum caso
Como o posto máximo de um mapa de
Isto garante que
Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação (c):
.
Temos e
.
A desigualdade equivale a
, isto é
.
Como é inteiro, isso só ocorre para
.
Mas pode também ser
ou
, casos em que a desigualdade falha.
Logo a afirmação não vale para toda aplicação e é falsa.
Temos
A desigualdade
Como
Mas
Logo a afirmação não vale para toda aplicação e é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação (d):
.
O posto pode ser zero se for a aplicação nula (toda coluna da matriz nula).
Nesse caso .
Portanto não é garantido que e a afirmação é falsa.
O posto pode ser zero se
Nesse caso
Portanto não é garantido que
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa