Exercício 4.8.8. Considere a aplicação linear F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
F(x, y, z)=(x+2 y-3 z,-x+5 z, y+z)
Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a) \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} F)=1;
b) F é injetiva;
c) F é sobrejetiva;
d) F^{-1}(2,4,3)=(1,2,1).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad F(x,y,z)=(x+2y-3z,\;-x+5z,\;y+z)
e pede para analisar:
– dimensão do núcleo \ker F,
– injetividade e sobrejetividade de F,
– descrição de F^{-1}(2,4,3).
Para isso, usaremos a resolução do sistema F(x,y,z)=(0,0,0), o Teorema do Núcleo e Imagem (posto–nulidade) e cálculo direto de F(1,2,1).

Passo 2

Calculamos \ker F\) resolvendo \[F(x,y,z)=(0,0,0)\;\Longrightarrow \begin{cases} x + 2y - 3z = 0,\\\\ -x + 5z = 0,\\\ y + z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x = 5z\]. Da terceira vem \(y = -\,z. Substituindo em x+2y-3z=0 obtemos
5z + 2(-z) - 3z = 5z -2z -3z = 0,
que é satisfeito para todo z. Logo
\ker F = \{(5z,\,-z,\,z)\mid z\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(5,-1,1)\},
e portanto \dim(\ker F)=1.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
\dim(\ker F) + \dim(\operatorname{Im}F) = 3,
logo \dim(\operatorname{Im}F)=3-1=2.
– Injetividade exige \ker F=\{0\}, mas aqui \ker F é de dimensão 1, portanto F não é injetiva.
– Sobrejetividade em \mathbb{R}^3 exigiria \dim(\operatorname{Im}F)=3, mas \dim(\operatorname{Im}F)=2, logo F não é sobrejetiva.

Passo 4

Para checar F^{-1}(2,4,3), vemos que
F(1,2,1) = (\,1+2\cdot2-3\cdot1,\;-1+5\cdot1,\;2+1\,) = (2,4,3),
então (1,2,1) é um elemento de F^{-1}(2,4,3). Mas como F não é injetiva, toda linha afim (1,2,1)+t(5,-1,1) também manda em (2,4,3). Logo
F^{-1}(2,4,3) = \{(1,2,1) + t\,(5,-1,1)\mid t\in\mathbb{R}\},
que não é o único ponto (1,2,1).

Resposta

a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Falsa.

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