Exercício 4.8.8. Considere a aplicação linear
tal que
Estabelecer se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (motivando as respostas):
a)
;
b)
é injetiva;
c)
é sobrejetiva;
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
e pede para analisar:
– dimensão do núcleo ,
– injetividade e sobrejetividade de ,
– descrição de .
Para isso, usaremos a resolução do sistema , o Teorema do Núcleo e Imagem (posto–nulidade) e cálculo direto de
.
– dimensão do núcleo
– injetividade e sobrejetividade de
– descrição de
Para isso, usaremos a resolução do sistema
Passo 2
Calculamos
Da segunda equação vem
. Substituindo em
obtemos
que é satisfeito para todo
. Logo
e portanto
.
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
logo
.
– Injetividade exige , mas aqui
é de dimensão 1, portanto
não é injetiva.
– Sobrejetividade em exigiria
, mas
, logo
não é sobrejetiva.
– Injetividade exige
– Sobrejetividade em
Passo 4
Para checar
, vemos que
então
é um elemento de
. Mas como
não é injetiva, toda linha afim
também manda em
. Logo
que não é o único ponto
.
Resposta
a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Falsa.