Exercício 10.
Seja
a matriz definida por:
Determine o polinômio característico, os autovalores e uma base de autovetores de
.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
:
e pede (i) o polinômio característico, (ii) os autovalores e (iii) uma base de autovetores.
Passo 2
Para obter o polinômio característico calculamos
. Observamos que
e assim
O determinante
é
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Passo 3
O polinômio característico é
cuja raiz é
com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 4
Para encontrar os autovetores resolvemos
. Temos
de onde o sistema é
Isto dá
e
livre. Definindo
e
, obtemos
Portanto a multiplicidade geométrica é 2.
Resposta
O polinômio característico é
O único autovalor é
Uma base do espaço próprio (eigenspace) associada a
é