Exercício 10.
Seja A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} a matriz definida por:
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
Determine o polinômio característico, os autovalores e uma base de autovetores de A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}:
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede (i) o polinômio característico, (ii) os autovalores e (iii) uma base de autovetores.

Passo 2

Para obter o polinômio característico calculamos \det(A - \lambda I). Observamos que
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & 0\\\\ 1 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}
e assim
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1 \\[6pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}\,(2-\lambda).
O determinante 2\times2 é
(3-\lambda)(1-\lambda) - (-1)\cdot1 = \lambda^2 -4\lambda +4 = (\lambda-2)^2.
Logo
\det(A - \lambda I) = (\lambda-2)^2\,(2-\lambda) = -(\lambda-2)^3.]

Passo 3

O polinômio característico é
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = -(\lambda-2)^3,
cuja raiz é \lambda=2 com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Para encontrar os autovetores resolvemos (A-2I)v=0. Temos
A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
de onde o sistema é
x_1 - x_2 = 0, \quad x_1 - x_2 = 0, \quad 0 = 0.
Isto dá x_1 = x_2 e x_3 livre. Definindo s = x_1 = x_2 e t = x_3, obtemos
v = \begin{pmatrix}s\s\t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto a multiplicidade geométrica é 2.

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = -(\lambda - 2)^3.
O único autovalor é
\lambda = 2 \quad(\text{mult. alg. }3).
Uma base do espaço próprio (eigenspace) associada a \lambda=2 é
\left\{ \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \;\; \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \right\}.

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