Seja beta=((1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1)). Obtenha

Passo 1

O enunciado pede a norma do vetor cujas coordenadas na base β=((1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,1)) são (1,−1,2). O conteúdo principal é mudança de base e cálculo de norma em R^3. Vamos precisar usar combinação linear para obter o vetor em coordenadas padrões e depois aplicar a fórmula da norma Euclidiana.

Passo 2

Primeiro escrevemos o vetor em coordenadas-padrão como combinação linear dos vetores da base. Sejam b₁=(1,1,−1), b₂=(−1,1,1) e b₃=(1,−1,1). Então o vetor v é
v = 1,b1 + (-1),b2 + 2,b3

Passo 3

Agora calculamos passo a passo. Primeiro b₁ - b₂:
b1 - b2 = (1,1,-1) - (-1,1,1) = (2,0,-2)
Em seguida somamos 2b₃:
2,b3 = 2,(1,-1,1) = (2,-2,2),
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v = (2,0,-2) + (2,-2,2) = (4,-2,0)

Passo 4

Por fim, aplicamos a fórmula da norma Euclidiana em R^3. Se v=(x,y,z),
|v| = raizx^2+y^2+z^2
No nosso caso x=4, y=−2, z=0, então
|v| = raiz4^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Resposta

2raiz5

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