tem-se que
é uma solução (não precisa verificar). Use o método de redução de ordem para encontrar outra solução. (Dica: faça
)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c||c|}
\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Total \
\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Total \
Passo 1
O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
e informa que
é uma solução conhecida. Vamos usar o método de redução de ordem, isto é, buscar uma segunda solução da forma
Passo 2
Calculamos
e
. Como
, temos
Passo 3
Substituímos essas derivadas na equação original:
Distribuindo,
Os termos em
se cancelam e
, sobrando
Passo 4
Integrando
duas vezes, obtemos
A parte constante
gera múltiplos de
(isto é, múltiplos de
), então a nova solução não-trivial vem de escolher
, ou seja
e
.
Passo 5
Portanto a segunda solução é
É fácil verificar que
e
são linearmente independentes.
Resposta
A segunda solução independente é
.