t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0,
tem-se que y1(t)=t^2 é uma solução (não precisa verificar). Use o método de redução de ordem para encontrar outra solução. (Dica: faça y2=v y1 )
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c||c|}
\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Total \

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0,
e informa que y1(t)=t^2 é uma solução conhecida. Vamos usar o método de redução de ordem, isto é, buscar uma segunda solução da forma
y2(t)=v(t),y1(t)=v(t),t^2

Passo 2

Calculamos y2' e y2''. Como y2=v,t^2, temos
y2'=v',t^2+2v,t,
y2''=v'',t^2+4,t,v'+2v

Passo 3

Substituímos essas derivadas na equação original:
t^2(v'',t^2+4t,v'+2v)-4t,(v',t^2+2v,t)+6(v,t^2)=0
Distribuindo,
t^4v''+4t^3v'+2t^2v-4t^3v'-8t^2v+6t^2v=0
Os termos em v' se cancelam e 2-8+6=0, sobrando
t^4v''=0Longrightarrow v''=0

Passo 4

Integrando v''=0 duas vezes, obtemos
v'(t)=C1, v(t)=C1t+C2
A parte constante C2 gera múltiplos de t^2 (isto é, múltiplos de y1), então a nova solução não-trivial vem de escolher v(t)=t, ou seja C1=1 e C2=0.

Passo 5

Portanto a segunda solução é
y2(t)=v(t),t^2=tcdot t^2=t^3
É fácil verificar que y1=t^2 e y2=t^3 são linearmente independentes.

Resposta

A segunda solução independente é y2(t)=t^3.

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