Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem
), isto é, de
, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão. O conteúdo é subespaços vetoriais e bases em espaços de polinômios.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço, precisamos checar três propriedades:
- O polinômio zero está em
, pois . - Se
, então
ou seja,
.
3. Se e
, então
3. Se
logo
.
Portanto, é subespaço de
.
Portanto,
Passo 3
Um polinômio
só pode ter termos de grau par, pois qualquer termo de grau ímpar mudo de sinal em
. Logo, todo
escreve-se como
onde
e
.
Passo 4
Os monômios
são linearly independentes e geram
. Portanto, formam uma base de
. Como há exatamente
desses monômios, concluímos que
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
e sua dimensão é
.