Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem <= n), isto é, de Pn=a0+a1 t+ldots+an t^n, a0, ldots, an in R, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
f(x)=f(-x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
E = ,fin Pn mid f(x)=f(-x) forall xinR
é um subespaço de Pn e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão. O conteúdo é subespaços vetoriais e bases em espaços de polinômios.

Passo 2

Para mostrar que E é subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. O polinômio zero está em E, pois 0 = 0.
  2. Se f,gin E, então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
ou seja, f+gin E.
3. Se fin E e lambdainR, então
(lambda f)(-x)=lambda,f(-x)=lambda,f(x)=(lambda f)(x),
logo lambda fin E.
Portanto, E é subespaço de Pn.

Passo 3

Um polinômio fin E só pode ter termos de grau par, pois qualquer termo de grau ímpar mudo de sinal em xmapsto -x. Logo, todo fin E escreve-se como
f(t)=a0+a2t^2+a4t^4+cdots+a2kt^2k,
onde k=lfloor n/2rfloor e a0,a2,dots,a2kinR.

Passo 4

Os monômios
1,;t^2,;t^4,;dots,;t^2k
são linearly independentes e geram E. Portanto, formam uma base de E. Como há exatamente k+1 desses monômios, concluímos que
dim E = k+1 = lfloor n/2rfloor + 1

Resposta

O conjunto finPnmid f(x)=f(-x) é um subespaço de Pn e sua dimensão é lfloor n/2rfloor+1.

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