Exercício 3.10. Seja
a matriz de mudança da base
para
. Se
é a matriz de um operador linear
na base
, prove que a matriz de
na base
é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com clareza):
- Existe um espaço vetorial de dimensão finita e duas bases nele:
e . - Seja
um operador linear sobre esse espaço. -
é a matriz de na base . Isso significa que, para todo vetor , vale
-
é a matriz de mudança de base "da base para ". Para eliminar ambiguidade aqui, vou usar a convenção que faz a identidade pedida ficar exatamente na forma do enunciado: as colunas de são as coordenadas dos vetores da base escritas na base . Ou seja,
e, para todo vetor
,
- Objetivo: provar que a matriz de
na base é dada por .
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática e passo a passo do que cada notação significa):
- Para qualquer vetor
do espaço, é o vetor coluna com as coordenadas de na base . Analogamente é as coordenadas na base . - A igualdade
diz que, se se conhece as coordenadas de em , multiplicando por obtém-se as coordenadas de em . Logo converte coordenadas de para coordenadas de . - O inverso
converte do contrário:
- A matriz
representa na base , isto é, aplicada às coordenadas produz as coordenadas de em :
- Queremos encontrar a matriz
tal que, para todo ,
Nosso objetivo é expressar
em termos de
e
.
Passo 3
Transformar a expressão de
usando as relações de mudança de base:
- Começo escrevendo
em função de usando :
- Agora substituo
:
- Em seguida uso
:
- Reagrupando os fatores (associatividade da multiplicação de matrizes):
Passo 4
Conclusão lógica: igualdade para todos os vetores de coordenadas em
- A igualdade
vale para todo vetor
. Pela definição de matriz de um operador numa base (a matriz que transforma
em
), isso mostra que a matriz de
na base
é exatamente
- Justificação final: duas matrizes são iguais se agem da mesma forma sobre todos os vetores coluna; aqui
e a matriz verdadeira de em produzem a mesma saída para todo , logo são a mesma matriz.
Passo 5
Interpretação e observações práticas (dica para a prova):
- A fórmula
é um exemplo de transformação por similaridade: matrizes que representam o mesmo operador em bases diferentes são semelhantes. - Como regra mnemônica: para trocar de matriz na base antiga (
) para a base nova ( ), primeiro converta coordenadas da nova para a antiga (multiplicando por ), aplique , e depois converta de volta para a nova (multiplicando por ). O resultado é . - Exemplo rápido: se quiser calcular a coluna
de , calcule em coordenadas (isso é ), e então converta para coordenadas (multiplicando por ). Isso dá a coluna de , que coincide com .