Exercício 3.10. Seja P a matriz de mudança da base \mathcal{B} para \mathcal{C}. Se A é a matriz de um operador linear T na base \mathcal{B}, prove que a matriz de T na base \mathcal{C} é dada por P^{-1} A P.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com clareza):
  • Existe um espaço vetorial de dimensão finita e duas bases nele: \mathcal{B}=(b_1,\dots,b_n) e \mathcal{C}=(c_1,\dots,c_n).
  • Seja T um operador linear sobre esse espaço.
  • A é a matriz de T na base \mathcal{B}. Isso significa que, para todo vetor v, vale
[T(v)]_{\mathcal{B}} = A\,[v]_{\mathcal{B}}.
  • P é a matriz de mudança de base "da base \mathcal{B} para \mathcal{C}". Para eliminar ambiguidade aqui, vou usar a convenção que faz a identidade pedida ficar exatamente na forma do enunciado: as colunas de P são as coordenadas dos vetores da base \mathcal{C} escritas na base \mathcal{B}. Ou seja,
P = \big([c_1]_{\mathcal{B}}\;\; [c_2]_{\mathcal{B}}\;\; \cdots\;\; [c_n]_{\mathcal{B}}\big),
e, para todo vetor v,
[v]_{\mathcal{B}} = P\,[v]_{\mathcal{C}}.
  • Objetivo: provar que a matriz de T na base \mathcal{C} é dada por P^{-1} A P.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e passo a passo do que cada notação significa):
  • Para qualquer vetor v do espaço, [v]_{\mathcal{B}} é o vetor coluna com as coordenadas de v na base \mathcal{B}. Analogamente [v]_{\mathcal{C}} é as coordenadas na base \mathcal{C}.
  • A igualdade [v]_{\mathcal{B}} = P\,[v]_{\mathcal{C}} diz que, se se conhece as coordenadas de v em \mathcal{C}, multiplicando por P obtém-se as coordenadas de v em \mathcal{B}. Logo P converte coordenadas de \mathcal{C} para coordenadas de \mathcal{B}.
  • O inverso P^{-1} converte do contrário:
[v]_{\mathcal{C}} = P^{-1}\,[v]_{\mathcal{B}}.
  • A matriz A representa T na base \mathcal{B}, isto é, aplicada às coordenadas [v]_{\mathcal{B}} produz as coordenadas de T(v) em \mathcal{B}:
[T(v)]_{\mathcal{B}} = A\,[v]_{\mathcal{B}}.
  • Queremos encontrar a matriz A_{\mathcal{C}} tal que, para todo v,
[T(v)]_{\mathcal{C}} = A_{\mathcal{C}}\,[v]_{\mathcal{C}}.
Nosso objetivo é expressar A_{\mathcal{C}} em termos de A e P.

Passo 3

Transformar a expressão de [T(v)]_{\mathcal{C}} usando as relações de mudança de base:
  • Começo escrevendo [T(v)]_{\mathcal{C}} em função de [T(v)]_{\mathcal{B}} usando P^{-1}:
[T(v)]_{\mathcal{C}} = P^{-1}\,[T(v)]_{\mathcal{B}}.
  • Agora substituo [T(v)]_{\mathcal{B}} = A\,[v]_{\mathcal{B}}:
[T(v)]_{\mathcal{C}} = P^{-1}\,A\,[v]_{\mathcal{B}}.
  • Em seguida uso [v]_{\mathcal{B}} = P\,[v]_{\mathcal{C}}:
[T(v)]_{\mathcal{C}} = P^{-1}\,A\,\big(P\,[v]_{\mathcal{C}}\big).
  • Reagrupando os fatores (associatividade da multiplicação de matrizes):
[T(v)]_{\mathcal{C}} = \big(P^{-1} A P\big)\,[v]_{\mathcal{C}}.

Passo 4

Conclusão lógica: igualdade para todos os vetores de coordenadas em \mathcal{C}
  • A igualdade
[T(v)]_{\mathcal{C}} = \big(P^{-1} A P\big)\,[v]_{\mathcal{C}}
vale para todo vetor v. Pela definição de matriz de um operador numa base (a matriz que transforma [v]_{\mathcal{C}} em [T(v)]_{\mathcal{C}}), isso mostra que a matriz de T na base \mathcal{C} é exatamente
A_{\mathcal{C}} = P^{-1} A P.
  • Justificação final: duas matrizes são iguais se agem da mesma forma sobre todos os vetores coluna; aqui P^{-1} A P e a matriz verdadeira de T em \mathcal{C} produzem a mesma saída para todo [v]_{\mathcal{C}}, logo são a mesma matriz.

Passo 5

Interpretação e observações práticas (dica para a prova):
  • A fórmula A_{\mathcal{C}} = P^{-1} A P é um exemplo de transformação por similaridade: matrizes que representam o mesmo operador em bases diferentes são semelhantes.
  • Como regra mnemônica: para trocar de matriz na base antiga ( \mathcal{B}) para a base nova ( \mathcal{C}), primeiro converta coordenadas da nova para a antiga (multiplicando por P), aplique A, e depois converta de volta para a nova (multiplicando por P^{-1}). O resultado é P^{-1} A P.
  • Exemplo rápido: se quiser calcular a coluna j de A_{\mathcal{C}}, calcule T(c_j) em coordenadas \mathcal{B} (isso é A\,[c_j]_{\mathcal{B}}), e então converta para coordenadas \mathcal{C} (multiplicando por P^{-1}). Isso dá a coluna j de A_{\mathcal{C}}, que coincide com P^{-1}A P e_j.

Resposta

P^{-1} A P

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