Exercício 3.9. Considere o espaço
. (a) Mostre que
é base. (b) Encontre a matriz de mudança para a base
.
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
. - A base candidata
. - A outra base
.
O que se pede:
(a) Mostrar que é uma base de
.
(b) Encontrar a matriz de mudança (passagem) relacionada com a base .
(a) Mostrar que
(b) Encontrar a matriz de mudança (passagem) relacionada com a base
Passo 2
Lembrete didático (o que é preciso mostrar).
- Definição de base: um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se (i) gera o espaço (span) e (ii) é linearmente independente.
- Linearmente independente: um conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
.
- Matriz de mudança de base (explicação prática): se
e , forme a matriz cujas colunas são as coordenadas de expressas na base :
Então, para todo vetor
,
A matriz que leva coordenadas de
para coordenadas de
é
.
Passo 3
Mostrar que
gera
.
- Por definição do enunciado temos
. Logo os vetores de geram . (Isto verifica a propriedade (i) da base.)
Passo 4
Mostrar que
é linearmente independente (propriedade (ii) da base).
- Considere uma combinação linear nula:
- Fatore
(que nunca é zero para nenhum ):
- Como
para todo , segue que a função deve ser identicamente zero para todo . Uma função polinomial linear é identicamente zero se, e somente se, e . - Portanto
. Conclui-se que é linearmente independente.
Passo 5
Conclusão sobre (a).
- Como
gera e é linearmente independente, é uma base de . (Pronto! — isso responde (a).)
Passo 6
Preparação para (b): coordenadas dos vetores de
na base
.
- Denotando
e , escrevemos os vetores de em termos de :
- Assim as coordenadas de
em são e as de são .]
Passo 7
Formar a matriz
(colunas = coordenadas de
na base
) e calcular sua inversa.
- A matriz
é
- Calcular o determinante:
- Inversa de uma
: para tem-se . Aplicando ao caso:
- Verificação rápida (opcional):
— pode multiplicar para checar se quiser na prova.]
Passo 8
Interpretar o resultado e dar a matriz de mudança pedida.
- Conforme explicado no Passo 2, a matriz
satisfaz . Portanto a matriz que transforma coordenadas de para coordenadas de (ou seja, que calcula a partir de ) é . - Logo a matriz de mudança de
para é
Resposta
(a)
é base de
.\n
(b) A matriz de mudança de coordenadas de
para
é
.]