Exercício 3.9. Considere o espaço V=\operatorname{span}\left\{e^{x}, x e^{x}\right\}. (a) Mostre que \mathcal{B}=\left\{e^{x}, x e^{x}\right\} é base. (b) Encontre a matriz de mudança para a base \mathcal{C}=\left\{e^{x}+x e^{x}, e^{x}-x e^{x}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial V=\operatorname{span}\{e^{x},\,x e^{x}\}.
  • A base candidata \mathcal{B}=\{e^{x},\,x e^{x}\}.
  • A outra base \mathcal{C}=\{e^{x}+x e^{x},\,e^{x}-x e^{x}\}.
O que se pede:
(a) Mostrar que \mathcal{B} é uma base de V.
(b) Encontrar a matriz de mudança (passagem) relacionada com a base \mathcal{C}.

Passo 2

Lembrete didático (o que é preciso mostrar).
  • Definição de base: um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se (i) gera o espaço (span) e (ii) é linearmente independente.
  • Linearmente independente: um conjunto \{v_1,\dots,v_n\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0.
  • Matriz de mudança de base (explicação prática): se \mathcal{B}=(b_1,b_2) e \mathcal{C}=(c_1,c_2), forme a matriz S cujas colunas são as coordenadas de c_j expressas na base \mathcal{B}:
S=\big[\, [c_1]_{\mathcal{B}}\\ \mid\\ [c_2]_{\mathcal{B}}\,\big].
Então, para todo vetor v,
[v]_{\mathcal{B}}=S\,[v]_{\mathcal{C}} \quad\Rightarrow\quad [v]_{\mathcal{C}}=S^{-1}[v]_{\mathcal{B}}.
A matriz que leva coordenadas de \mathcal{B} para coordenadas de \mathcal{C} é S^{-1}.

Passo 3

Mostrar que \mathcal{B} gera V.
  • Por definição do enunciado temos V=\operatorname{span}\{e^{x},x e^{x}\}. Logo os vetores de \mathcal{B} geram V. (Isto verifica a propriedade (i) da base.)

Passo 4

Mostrar que \mathcal{B} é linearmente independente (propriedade (ii) da base).
  • Considere uma combinação linear nula:
\alpha e^{x}+\beta x e^{x}=0\quad\text{(função zero, para todo \(x\))}.çã
  • Fatore e^{x} (que nunca é zero para nenhum x):
e^{x}\big(\alpha+\beta x\big)=0.
  • Como e^{x}\neq0 para todo x, segue que a função \alpha+\beta x deve ser identicamente zero para todo x. Uma função polinomial linear \alpha+\beta x é identicamente zero se, e somente se, \alpha=0 e \beta=0.
  • Portanto \alpha=\beta=0. Conclui-se que \{e^{x},x e^{x}\} é linearmente independente.

Passo 5

Conclusão sobre (a).
  • Como \mathcal{B} gera V e é linearmente independente, \mathcal{B} é uma base de V. (Pronto! — isso responde (a).)

Passo 6

Preparação para (b): coordenadas dos vetores de \mathcal{C} na base \mathcal{B}.
  • Denotando b_1=e^{x} e b_2=x e^{x}, escrevemos os vetores de \mathcal{C} em termos de b_1,b_2:
c_1=e^{x}+x e^{x}=b_1+b_2,
c_2=e^{x}-x e^{x}=b_1-b_2.
  • Assim as coordenadas de c_1 em \mathcal{B} são [c_1]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e as de c_2 são [c_2]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Formar a matriz S (colunas = coordenadas de c_j na base \mathcal{B}) e calcular sua inversa.
  • A matriz S é
S=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
  • Calcular o determinante:
\det(S)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2.
  • Inversa de uma 2\times2: para S=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} tem-se S^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando ao caso:
S^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (opcional): S^{-1}S=I — pode multiplicar para checar se quiser na prova.]

Passo 8

Interpretar o resultado e dar a matriz de mudança pedida.
  • Conforme explicado no Passo 2, a matriz S satisfaz [v]_{\mathcal{B}}=S\,[v]_{\mathcal{C}}. Portanto a matriz que transforma coordenadas de \mathcal{B} para coordenadas de \mathcal{C} (ou seja, que calcula [v]_{\mathcal{C}} a partir de [v]_{\mathcal{B}}) é S^{-1}.
  • Logo a matriz de mudança de \mathcal{B} para \mathcal{C} é
\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \mathcal{B}=\{e^{x},\,x e^{x}\} é base de V.\n
(b) A matriz de mudança de coordenadas de \mathcal{B} para \mathcal{C} é \displaystyle \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

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