Exercício 10. Seja R=[a, b] \times[c, d]. Mostre que se f é contínua em [a, b] e g é contínua em [c, d], então
\iint_{R} f(x) g(y) d A=\int_{a}^{b} f(x) d x \int_{c}^{d} g(y) d y

Passo 1

O enunciado diz que temos o retângulo
R = [a,b]\times[c,d]
e duas funções contínuas f\colon[a,b]\to\mathbb{R} e g\colon[c,d]\to\mathbb{R}. Queremos mostrar que a integral dupla de F(x,y)=f(x)g(y) sobre R se separa no produto das integrais unidimensionais de f e de g. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Fubini, que permite transformar uma integral dupla em integrais iteradas.

Passo 2

Como f e g são contínuas em intervalos compactos, a função
F(x,y)=f(x)\,g(y)
é contínua em R e, portanto, integrável. Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{R}f(x)g(y)\,dA = \int_{a}^{b}\Bigl(\int_{c}^{d}f(x)g(y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Na integral interna \displaystyle \int_{c}^{d}f(x)g(y)\,dy, o fator f(x) é constante em relação a y. Logo podemos tirá-lo para fora:
\int_{c}^{d}f(x)g(y)\,dy = f(x)\,\int_{c}^{d}g(y)\,dy.
Definindo
I_{g} = \int_{c}^{d}g(y)\,dy,
fica
\iint_{R}f(x)g(y)\,dA = \int_{a}^{b}f(x)\,I_{g}\,dx = I_{g}\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Passo 4

Substituindo I_{g} de volta, obtemos
\iint_{R}f(x)g(y)\,dA = \Bigl(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\Bigr).

Resposta

\iint_{R}f(x)g(y)\,dA =\int_{a}^{b}f(x)\,dx\;\int_{c}^{d}g(y)\,dy.

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