Exercício 10. Seja
. Mostre que se
é contínua em
e
é contínua em
, então
Passo 1
O enunciado diz que temos o retângulo
e duas funções contínuas
e
. Queremos mostrar que a integral dupla de
sobre
se separa no produto das integrais unidimensionais de
e de
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Fubini, que permite transformar uma integral dupla em integrais iteradas.
Passo 2
Como
e
são contínuas em intervalos compactos, a função
é contínua em
e, portanto, integrável. Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
Passo 3
Na integral interna
, o fator
é constante em relação a
. Logo podemos tirá-lo para fora:
Definindo
fica
Passo 4
Substituindo
de volta, obtemos