Exercício 9. Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{1}^{s^{2}} \cos \left(s^{3}\right) d t d s;

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{1}^{s^{2}}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,dt\,ds.
O conteúdo é integração iterada e vamos usar o fato de que, ao integrar em t, \cos(s^{3}) é constante em relação a t.

Passo 2

Calculemos primeiro a integral interna em t:
\int_{1}^{s^{2}}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,dt.
Como \cos(s^{3}) não depende de t, temos
\int_{1}^{s^{2}}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,dt =\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,\bigl(s^{2}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral externa, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(s^{2}-1\bigr)\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,ds =\int_{0}^{1}s^{2}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,ds -\int_{0}^{1}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,ds.

Passo 4

Para o primeiro termo usemos a substituição u=s^{3}, du=3s^{2}ds, ou seja s^{2}ds=du/3. Quando s vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Logo
\int_{0}^{1}s^{2}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,ds =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du =\frac{1}{3}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{\sin(1)}{3}.

Passo 5

O segundo termo \displaystyle\int_{0}^{1}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,ds não tem primitiva elementar em funções usuais, então o deixamos em forma de integral.

Resposta

\frac{\sin(1)}{3}\;-\;\int_{0}^{1}\cos\bigl(s^{3}\bigr)\,ds.

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