Exercício 12. Esboce a região de integração e troque a ordem de integração:
\int_{0}^{8} \int_{\frac{1}{2} y}^{4} f(x, y) d x d y;

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{8}\!\int_{\tfrac12y}^{4}f(x,y)\,dx\,dy
que descreve a região
R=\bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le 8,\;\tfrac12y\le x\le4\bigr\}.
O objetivo é esboçar R no plano xy e trocar a ordem de integração, ou seja, escrever a integral como \int dx\int dy.

Passo 2

Para entender R, note que a curva \tfrac12y=x é equivalen­te a
y=2x,
e as outras fronteiras são as retas y=0, y=8 e x=4. Assim, R é a região limitada por
y=0,\quad y=2x,\quad x=4,
com y variando de 0 até 8.

Passo 3

Projetando R no eixo x, vemos que o menor valor de x ocorre em y=0 (isto é, x=0) e o maior é x=4. Portanto,
0\le x\le 4.

Passo 4

Para cada x fixo em [0,4], o y varia de baixo para cima entre y=0 e a reta y=2x. Logo
0\le y\le 2x.

Passo 5

Trocando a ordem de integração, a integral sobre R fica
\int_{0}^{4}\!\int_{0}^{2x}f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{8}\!\int_{\tfrac12y}^{4}f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{4}\!\int_{0}^{2x}f(x,y)\,dy\,dx.

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