Exercício 12. Esboce a região de integração e troque a ordem de integração:
\int_{0}^{9} \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e então trocar a ordem de integração da integral
\int_{0}^{9} \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas e a técnica de inverter a ordem de integração, identificando corretamente a região no plano xy.

Passo 2

Analisamos os limites originais:
Para cada y entre 0 e 9, x varia de 0 até \sqrt{y}. Logo, a região D é dada por
0 \le y \le 9, \quad 0 \le x \le \sqrt{y}.
A desigualdade x \le \sqrt{y} equivale a y \ge x^2.

Passo 3

Esboço da região D:
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge x^2,\;y\le9\}.
No plano xy, traçamos a parábola y = x^2 e a reta horizontal y = 9. A região é o “farto” entre a curva e a reta, à direita do eixo y.

Passo 4

Para inverter a ordem, fixamos primeiro x. Observamos que x vai de 0 (origem) até o ponto em que a parábola encontra y=9, ou seja, x = \sqrt{9}=3. Para cada x em [0,3], o valor de y varia de y = x^2 (parte inferior) até y = 9 (parte superior).

Passo 5

Assim, a integral com ordem trocada fica
\int_{x=0}^{3} \int_{y=x^2}^{9} f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{9} \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{3} \int_{x^2}^{9} f(x,y)\,dy\,dx.

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