Exercício 12. Esboce a região de integração e troque a ordem de integração:
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração e então trocar a ordem de integração da integral
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas e a técnica de inverter a ordem de integração, identificando corretamente a região no plano
.
Passo 2
Analisamos os limites originais:
Para cada entre
e
,
varia de
até
. Logo, a região
é dada por
Para cada
A desigualdade
equivale a
.
Passo 3
Esboço da região
:
No plano
, traçamos a parábola
e a reta horizontal
. A região é o “farto” entre a curva e a reta, à direita do eixo
.
Passo 4
Para inverter a ordem, fixamos primeiro
. Observamos que
vai de 0 (origem) até o ponto em que a parábola encontra
, ou seja,
. Para cada
em
, o valor de
varia de
(parte inferior) até
(parte superior).
Passo 5
Assim, a integral com ordem trocada fica