Exercício 9. Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} x e^{y} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\!\int_{x}^{1} x\,e^{y}\,dy\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais iteradas, envolvendo:
  1. integração em y tratando x como constante;
  2. depois integração em x, aplicando integração por partes quando necessário.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
Como x é constante em relação a y,
\int_{x}^{1} x\,e^{y}\,dy = x\int_{x}^{1} e^{y}\,dy = x\bigl[e^{y}\bigr]_{y=x}^{y=1} = x\bigl(e - e^{x}\bigr).

Passo 3

Substituir na integral externa em x:
\int_{0}^{1} x\bigl(e - e^{x}\bigr)\,dx = e\int_{0}^{1} x\,dx \;-\;\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx.
Agora calculamos cada parte:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1} x\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
  2. Para \displaystyle \int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx, use integração por partes:
    tome u = x, dv = e^{x}dx \Rightarrow du = dx, v = e^{x}.
    Então
\int x\,e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Avaliando de 0 a 1:
\bigl[x e^{x} - e^{x}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(1\cdot e - e\bigr) - \bigl(0\cdot1 - 1\bigr) = 0 - (-1) = 1.

Passo 4

Voltar à expressão principal:
e\cdot\tfrac{1}{2} \;-\; 1 = \tfrac{e}{2} - 1.

Resposta

\displaystyle \frac{e}{2} - 1

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