Exercicio 10 Seja T: R^3 R^2 definida por:
T(x, y, z)=(x+y, y+z)
Determine a imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;T:R^3toR^2
por
T(x,y,z)=(x+y,;y+z)
O que se pede é a imagem de T, isto é,
Im(T)=,T(x,y,z)mid(x,y,z)inR^3.

Passo 2

Para achar podemos escrever na forma matricial em relação às bases canônicas de e . A matriz de é
pois

Passo 3

Por definição,
Im(T)=Col(A) =spanl(1,0),(1,1),(0,1)r,
isto é, a imagem é o espaço gerado pelas colunas de A.

Passo 4

Repare que as colunas (1,0) e (0,1) já estão no conjunto de geradores. Como
(1,0) e (0,1) formam a base canônica de R^2, concluímos que
span(1,0),(1,1),(0,1)=R^2

Resposta

A imagem de T é
Im(T)=R^2

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