Exercício 14: Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(\frac{y}{x}+x, \ln x+e^{y}\right) é definido em U=\{(x, y) \in \left.\mathbb{R}^{2} ; x>0\right\} e C é a cicloide parametrizada por \vec{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t, 1-\cos t), com t \in[\pi, 2 \pi].
Solução Observemos que o cálculo direto é extremamente difícil! Então, pesquisemos se \vec{F}= (P, Q)=\left(\frac{y}{x}+x, \ln x+e^{y}\right) é um campo conservativo em U.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \vec{F}(x,y)=\bigl(P,Q\bigr)=\Bigl(\frac{y}{x}+x,\;\ln x+e^{y}\Bigr) está definido em U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0\} e C é a cicloide \vec{r}(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t) para t\in[\pi,2\pi]. Como o cálculo direto é muito trabalhoso, vamos verificar se \vec{F} é um campo conservativo em U e, se for, usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos.

Passo 2

Mostramos que \vec{F} é conservativo conferindo que U é simplesmente conexo e
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}+x\Bigr) =\frac{1}{x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln x+e^{y}\bigr) =\frac{1}{x}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em U, o campo é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x} =P=\frac{y}{x}+x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =Q=\ln x+e^{y}.
Integramos P em relação a x:
f(x,y)=\int\Bigl(\frac{y}{x}+x\Bigr)\,dx =y\ln x+\frac{x^2}{2}+h(y).
Derivando em y e igualando a Q
\frac{\partial f}{\partial y} =\ln x+h'(y) \stackrel!=\ln x+e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=e^{y} \;\Rightarrow\; h(y)=e^{y}.
Logo, uma potencial é
f(x,y)=y\ln x+\frac{x^2}{2}+e^{y}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =f\bigl(r(2\pi)\bigr)-f\bigl(r(\pi)\bigr).
Calculamos os pontos extremos da parametrização:
r(\pi)=\bigl(\pi-\sin\pi,\;1-\cos\pi\bigr)=(\pi,2), \quad r(2\pi)=\bigl(2\pi-\sin2\pi,\;1-\cos2\pi\bigr)=(2\pi,0).
Então
f\bigl(2\pi,0\bigr) =0\cdot\ln(2\pi)+\frac{(2\pi)^2}{2}+e^0 =2\pi^2+1, \quad f\bigl(\pi,2\bigr) =2\ln\pi+\frac{\pi^2}{2}+e^2.
Portanto
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\bigl(2\pi^2+1\bigr) -\Bigl(2\ln\pi+\tfrac{\pi^2}{2}+e^2\Bigr).

Resposta

\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\frac{3\pi^2}{2}+1-2\ln\pi-e^2.

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