Exercício 14: Calcule
, onde
é definido em
e
é a cicloide parametrizada por
, com
.
Solução Observemos que o cálculo direto é extremamente difícil! Então, pesquisemos se
é um campo conservativo em
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
está definido em
e
é a cicloide
para
. Como o cálculo direto é muito trabalhoso, vamos verificar se
é um campo conservativo em
e, se for, usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos.
Passo 2
Mostramos que
é conservativo conferindo que
é simplesmente conexo e
Como
em
, o campo é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
dá
Logo, uma potencial é
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Calculamos os pontos extremos da parametrização:
Então
Portanto