Questão 1 [25 pontos] Calcule
, onde
ao longo da curva
obtida como interseção da superfície
com o plano
, orientada no sentido de crescimento de
quando projetada no plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a curva fechada dada pela interseção da superfície
com o plano
orientada de modo que, ao projetar
no plano
, o parâmetro aumenta com
.
O conteúdo principal envolve reconhecimento de campo conservativo e uso de que a integral de um campo conservativo em curva fechada é zero.
O conteúdo principal envolve reconhecimento de campo conservativo e uso de que a integral de um campo conservativo em curva fechada é zero.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo calculando o rotacional
. Escrevendo
temos
Logo
ou seja,
é conservativo em
.
Passo 3
Como
é conservativo, existe potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Para ajustar
e
, impomos
e
Logo
é constante e podemos tomar
Passo 4
Para qualquer curva fechada
em um domínio simplesmente conexo onde
é conservativo, vale
Aqui
é exatamente um laço fechado (o círculo da interseção), logo