Questão 1 [25 pontos] Calcule \int_{C} F \cdot d r, onde F(x, y, z)=\left(2 x y z+2 x, x^{2} z, x^{2} y\right) ao longo da curva C obtida como interseção da superfície z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} com o plano x+y=1, orientada no sentido de crescimento de x quando projetada no plano x z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y,z)=\bigl(2xyz+2x,\;x^{2}z,\;x^{2}y\bigr)
e C é a curva fechada dada pela interseção da superfície
z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}
com o plano
x+y=1,
orientada de modo que, ao projetar C no plano xz, o parâmetro aumenta com x.
O conteúdo principal envolve reconhecimento de campo conservativo e uso de que a integral de um campo conservativo em curva fechada é zero.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo calculando o rotacional \nabla\times F. Escrevendo
F=(P,Q,R)\quad\text{com}\quad P=2xyz+2x,\;Q=x^{2}z,\;R=x^{2}y,
temos
(\nabla\times F)_1=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial (x^{2}y)}{\partial y}-\frac{\partial (x^{2}z)}{\partial z} =x^{2}-x^{2}=0,
(\nabla\times F)_2=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial (2xyz+2x)}{\partial z}-\frac{\partial (x^{2}y)}{\partial x} =2xy-2xy=0,
(\nabla\times F)_3=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x^{2}z)}{\partial x}-\frac{\partial (2xyz+2x)}{\partial y} =2xz-2xz=0.
Logo
\nabla\times F=\bigl(0,0,0\bigr),
ou seja, F é conservativo em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Como F é conservativo, existe potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=F. Integramos P em relação a x:
f(x,y,z)=\int (2xyz+2x)\,dx =x^{2}yz + x^{2} + g(y,z).
Para ajustar Q e R, impomos
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2}z + \frac{\partial g}{\partial y} \overset!=Q=x^{2}z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0
e
\frac{\partial f}{\partial z} =x^{2}y + g'(z) \overset!=R=x^{2}y \quad\Longrightarrow\quad g'(z)=0.
Logo g é constante e podemos tomar
f(x,y,z)=x^{2}yz + x^{2}.

Passo 4

Para qualquer curva fechada C em um domínio simplesmente conexo onde F é conservativo, vale
\int_{C}F\cdot d r = f\bigl(\text{ponto final}\bigr)-f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr)=0.
Aqui C é exatamente um laço fechado (o círculo da interseção), logo
\int_{C}F\cdot d r = 0.

Resposta

0

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