Exercício 2: Calcule

I=\int_{C}\left(z e^{x z}+y e^{x y}+6 x\right) d x+\left(x e^{x y}+z e^{y z}\right) d y+\left(x e^{x z}+y e^{y z}-\operatorname{sen} z\right) d z
onde C é a curva dada por \gamma(t)=t^{2} \overrightarrow{\mathbf{i}}+(t-1)(t-3) \overrightarrow{\mathbf{j}}+\pi t^{3} \overrightarrow{\mathbf{k}}, com 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
I=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz
sobre a curva \gamma(t)=(t^{2},\,(t-1)(t-3),\,\pi t^{3}), 0\le t\le1, onde
P(x,y,z)=z e^{x z}+y e^{x y}+6x,
Q(x,y,z)=x e^{x y}+z e^{y z} e
R(x,y,z)=x e^{x z}+y e^{y z}-\operatorname{sen} z.
Vamos ver se o campo \mathbf F=(P,Q,R) é conservativo, achar um potencial f e usar o Teorema Fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Para verificar que \mathbf F é conservativo, checamos
\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x,
\partial P/\partial z=\partial R/\partial x e
\partial Q/\partial z=\partial R/\partial y.
Calculamos:
\frac{\partial P}{\partial y} =e^{x y}+x y e^{x y} ,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} =e^{x y}+x y e^{x y},
\frac{\partial P}{\partial z} =e^{x z}+x z e^{x z} ,\quad \frac{\partial R}{\partial x} =e^{x z}+x z e^{x z},
\frac{\partial Q}{\partial z} =e^{y z}+y z e^{y z} ,\quad \frac{\partial R}{\partial y} =e^{y z}+y z e^{y z}.
Como todas as igualdades valem, \nabla\times\mathbf F=0 em \Bbb R^3 e existe potencial f.

Passo 3

Construímos f integrando
\partial f/\partial x=P:
f(x,y,z) =\int\bigl(z e^{x z}+y e^{x y}+6x\bigr)\,dx =e^{x z}+e^{x y}+3x^{2}+g(y,z).
Então \partial f/\partial y=x e^{x y}+g_{y}(y,z) deve igualar Q=x e^{x y}+z e^{y z}, logo
g_{y}(y,z)=z e^{y z}. Integrando em y:
g(y,z)=e^{y z}+h(z).
Por fim \partial f/\partial z=x e^{x z}+y e^{y z}+h'(z) deve ser
R=x e^{x z}+y e^{y z}-\operatorname{sen} z, daí h'(z)=-\operatorname{sen} z e
h(z)=\cos z.
Logo
f(x,y,z)=e^{x z}+e^{x y}+e^{y z}+3x^{2}+\cos z.

Passo 4

Os extremos de C são
\gamma(0)=(0,3,0) e \gamma(1)=(1,0,\pi).
Calculamos
f(1,0,\pi) =e^{1\cdot\pi}+e^{1\cdot0}+e^{0\cdot\pi}+3\cdot1^{2}+\cos\pi =e^{\pi}+1+1+3-1 =e^{\pi}+4,
f(0,3,0) =e^{0}+e^{0}+e^{0}+0+\cos0 =1+1+1+1 =4.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha de um campo conservativo,
I=f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr) =(e^{\pi}+4)-4 =e^{\pi}.

Resposta

e^{\pi}

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