Exercício 9. Suponha que o tempo, em minutos, para atendimento a clientes de um banco tenha distribuição Exponencial com taxa
. Com base na experiência do atendente, supõe-se que a distribuição a priori de
seja uma Gama com média 0,2 e desvio padrão 1 .
(a) Se o atendimento de 20 clientes resultou em um tempo médio de 3,8 minutos, qual a distribuição a posteriori de
?
(b) Qual o menor número de clientes que precisam ser observados para que o coeficiente de variação a posteriori de
diminua para 0,1 ?
(a) Se o atendimento de 20 clientes resultou em um tempo médio de 3,8 minutos, qual a distribuição a posteriori de
(b) Qual o menor número de clientes que precisam ser observados para que o coeficiente de variação a posteriori de
Passo 1
O enunciado trata de um modelo Bayesiano conjugado: os tempos de atendimento
são i.i.d. Exponencial com taxa
, e a priori
tem distribuição Gama. Precisamos (a) obter a posteriori de
após observar
clientes com tempo médio
, e (b) achar o menor
tal que o coeficiente de variação (CV) da posteriori caia para
.
Passo 2
Da priori Gama
sabemos
Resolvendo o sistema
temos de
, logo
, e então
.
Passo 3
Para dados
, o verossimilhança é
Como
, a conjugação com Gama leva à posteriori
Passo 4
Substituindo
e
, a posteriori é
onde o primeiro parâmetro é o shape e o segundo é o rate.
Passo 5
Para
vale
No nosso caso
.
Passo 6
Queremos
, isto é
Como
, exige-se
logo o menor inteiro é
.
Resposta
(a)
(b) É preciso observar pelo menos clientes para que o CV posteriori seja
.
(b) É preciso observar pelo menos