Exercício 9. Suponha que o tempo, em minutos, para atendimento a clientes de um banco tenha distribuição Exponencial com taxa \theta. Com base na experiência do atendente, supõe-se que a distribuição a priori de \theta seja uma Gama com média 0,2 e desvio padrão 1 .
(a) Se o atendimento de 20 clientes resultou em um tempo médio de 3,8 minutos, qual a distribuição a posteriori de \theta ?
(b) Qual o menor número de clientes que precisam ser observados para que o coeficiente de variação a posteriori de \theta diminua para 0,1 ?

Passo 1

O enunciado trata de um modelo Bayesiano conjugado: os tempos de atendimento X_i são i.i.d. Exponencial com taxa \theta, e a priori \theta tem distribuição Gama. Precisamos (a) obter a posteriori de \theta após observar n=20 clientes com tempo médio \bar X=3,8, e (b) achar o menor n tal que o coeficiente de variação (CV) da posteriori caia para 0,1.

Passo 2

Da priori Gama \Gamma(\alpha_0,\beta_0) sabemos
\text{média} = \frac{\alpha_0}{\beta_0} = 0,2, \quad \text{variância} = \frac{\alpha_0}{\beta_0^2} = 1.éâ
Resolvendo o sistema
\frac{\alpha_0}{\beta_0} = 0,2, \qquad \frac{\alpha_0}{\beta_0^2} = 1
temos de \frac{\alpha_0}{\beta_0^2}/\frac{\alpha_0}{\beta_0} = \frac1{\beta_0} = \frac{1}{0,2}, logo \beta_0=0,2, e então \alpha_0=0,2\,\beta_0=0,04.

Passo 3

Para dados X_1,\dots,X_{20}\sim\mathrm{Exp}(\theta), o verossimilhança é
L(\theta)\propto \theta^{20}\exp\bigl(-\theta\sum_{i=1}^{20}X_i\bigr).
Como \sum X_i =20\times3,8=76, a conjugação com Gama leva à posteriori
\theta\mid\{X_i\}\;\sim\;\Gamma\bigl(\alpha_0+20,\;\beta_0+76\bigr).

Passo 4

Substituindo \alpha_0=0,04 e \beta_0=0,2, a posteriori é
\theta\mid\text{dados}\;\sim\;\Gamma\bigl(20,04,\;76,2\bigr),
onde o primeiro parâmetro é o shape e o segundo é o rate.

Passo 5

Para \theta\sim\Gamma(\alpha,\beta) vale
\mathrm{CV} = \frac{\mathrm{sd}(\theta)}{\mathbb{E}[\theta]} = \frac{\sqrt{\alpha}/\beta}{\alpha/\beta} = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}.
No nosso caso \alpha=\alpha_0 + n.

Passo 6

Queremos \mathrm{CV}\le0,1, isto é
\frac{1}{\sqrt{\alpha_0 + n}} \le 0,1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\alpha_0 + n}\ge 10 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_0 + n \ge 100.
Como \alpha_0=0,04, exige-se
n \ge 100 - 0,04 = 99,96,
logo o menor inteiro é n=100.

Resposta

(a) \displaystyle \theta\mid\text{dados}\sim\Gamma\bigl(20,04,\;76,2\bigr).
(b) É preciso observar pelo menos 100 clientes para que o CV posteriori seja 0,1.

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