Exercício 28. Seja \theta um parâmetro de interesse.
Suponha que \theta tenha uma priori não informativa p(\theta) \propto \mathbb{1}_{\Theta}(\theta)𝟙. Mostre que \varphi=a \theta+b, a \neq 0, também tem priori p(\varphi) \propto \mathbb{1}_{\Phi}(\varphi)𝟙;

Passo 1

O enunciado nos dá um parâmetro de interesse \theta com priori não informativa
p(\theta)\propto \mathbb{1}_{\Theta}(\theta),𝟙
ou seja, uma densidade uniforme sobre o suporte \Theta. Queremos mostrar que, ao definir
\varphi = a\,\theta + b,\quad a\neq 0,
a nova variável também tem priori uniforme sobre seu suporte \Phi.

Passo 2

Como \varphi = a\theta + b, a transformação inversa é
\theta = \frac{\varphi - b}{a},
e o fator de correção (Jacobian em valor absoluto) é
\biggl|\frac{d\theta}{d\varphi}\biggr| = \frac{1}{\lvert a\rvert}.

Passo 3

Usando a fórmula de mudança de variável em densidades,
p(\varphi) = p\!\bigl(\theta(\varphi)\bigr)\,\Bigl|\tfrac{d\theta}{d\varphi}\Bigr| \propto \mathbb{1}_{\Theta}\!\Bigl(\tfrac{\varphi - b}{a}\Bigr)\,\frac{1}{\lvert a\rvert}.𝟙
Como \tfrac1{\lvert a\rvert} é constante, podemos incorporá-la na proporcionalidade, e note que
\mathbb{1}_{\Phi}(\varphi) := \mathbb{1}_{\Theta}\!\Bigl(\tfrac{\varphi - b}{a}\Bigr)𝟙𝟙
é justamente o indicador do novo suporte \Phi=\{\,\varphi:(\varphi-b)/a\in\Theta\}. Logo
p(\varphi)\propto \mathbb{1}_{\Phi}(\varphi).𝟙

Resposta

p(\varphi)\propto \mathbb{1}_{\Phi}(\varphi).𝟙

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