Exercício 5.5.10. Sejam \alpha=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\}, \beta=\left\{\binom{1}{1},\binom{-1}{1}\right\} e \gamma=\left\{\binom{1}{2},\binom{0}{1}\right\} Encontre as seguintes matrizes mudanças de base.
I d]_{\beta}^{\alpha}

Passo 1

O enunciado dá as bases \alpha=\bigl\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\bigr\} (base canônica) e \beta=\bigl\{\binom{1}{1},\binom{-1}{1}\bigr\},
e pede a matriz de mudança de base de \beta para \alpha para o operador identidade \mathrm{Id}\colon V\to V. Vamos usar que as colunas de [\mathrm{Id}]_{\beta}^{\alpha} são as coordenadas, na base \alpha, dos vetores da base \beta.

Passo 2

Tomamos cada vetor de \beta e escrevemos na base \alpha. Como \alpha é a base canônica, as coordenadas de \binom{1}{1} em \alpha são \bigl(1,1\bigr) e de \binom{-1}{1} em \alpha são \bigl(-1,1\bigr).

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
[\mathrm{Id}]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[\mathrm{Id}]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

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