Exercício 5.5.5. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e \beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base ordenada de V.
Mostre que para quaisquer w_{1}, \ldots, w_{n} \in V e escalares a_{1}, \ldots, a_{n} temos \left[a_{1} w_{1}+\ldots+a_{n} w_{n}\right]_{\beta}= a_{1} \cdot\left[w_{1}\right]_{\beta}+\ldots+a_{n} \cdot\left[w_{n}\right]_{\beta}.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que o mapeamento de coordenadas [\,\cdot\,]_\beta\colon V\to\mathbb K^n
é linear. Formalmente, dados vetores w_{1},\dots,w_{n}\in V e escalares a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb K, devemos provar
[a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n}]_{\beta} = a_{1}[w_{1}]_{\beta}+\cdots+a_{n}[w_{n}]_{\beta}.

Passo 2

Como \beta=\{v_{1},\dots,v_{n}\} é base de V, cada w_{j} se escreve de modo único como combinação linear dos v_{i}. Ou seja, existem escalares c_{1j},\dots,c_{nj} tais que
w_{j} = \sum_{i=1}^{n}c_{ij}\,v_{i},
e por definição
[w_{j}]_{\beta} = \begin{pmatrix} c_{1j}\\\ \vdots\\\ c_{nj} \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular [a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n}]_{\beta}.
Primeiro note que
a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n} =\sum_{j=1}^{n}a_{j}\,w_{j} =\sum_{j=1}^{n}a_{j}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}c_{ij}\,v_{i}\Bigr) =\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\sum_{j=1}^{n}a_{j}c_{ij}\Bigr)v_{i}.
Logo, pelas coordenadas desse vetor na base \beta, temos
[a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n}]_{\beta} = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{j}c_{1j}\\\ \vdots\\\ \sum_{j=1}^{n}a_{j}c_{nj} \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle a_{1}[w_{1}]_{\beta}+\cdots+a_{n}[w_{n}]_{\beta}.
Pelo que já vimos,
a_{1}[w_{1}]_{\beta}+\cdots+a_{n}[w_{n}]_{\beta} = \sum_{j=1}^{n}a_{j} \begin{pmatrix} c_{1j}\\\ \vdots\\\ c_{nj} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{j}c_{1j}\\\ \vdots\\\ \sum_{j=1}^{n}a_{j}c_{nj} \end{pmatrix}.
Repare que esse vetor coincide exatamente com o obtido em

Resposta

[a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n}]_{\beta} = a_{1}[w_{1}]_{\beta}+\cdots+a_{n}[w_{n}]_{\beta}.

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