Exercício 5.5.5. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e \beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base ordenada de V.
Mostre que para quaisquer w_{1}, \ldots, w_{n} \in V e escalares a_{1}, \ldots, a_{n} temos \left[a_{1} w_{1}+\ldots+a_{n} w_{n}\right]_{\beta}=a_{1} \cdot\left[w_{1}\right]_{\beta}+\ldots+a_{n} \cdot\left[w_{n}\right]_{\beta}.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que o mapeamento de coordenadas [\,\cdot\,]_\beta\colon V\to\mathbb K^n
é linear. Formalmente, dados vetores w_{1},\dots,w_{n}\in V e escalares a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb K, devemos provar
Como \beta=\{v_{1},\dots,v_{n}\} é base de V, cada w_{j} se escreve de modo único como combinação linear dos v_{i}. Ou seja, existem escalares c_{1j},\dots,c_{nj} tais que