Exercício 5.5.10. Sejam \alpha=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\}, \beta=\left\{\binom{1}{1},\binom{-1}{1}\right\} e \gamma=\left\{\binom{1}{2},\binom{0}{1}\right\} Encontre as seguintes matrizes mudanças de base.
I d]_{\gamma}^{\alpha}

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{R}^2 com as bases \alpha=\bigl\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\bigr\} (base canônica) e \gamma=\bigl\{\binom{1}{2},\binom{0}{1}\bigr\}.
Queremos a matriz de mudança de base [I_d]_{\gamma}^{\alpha}, ou seja, a que leva coordenadas em \gamma para coordenadas em \alpha.

Passo 2

Para montar essa matriz, lembramos que suas colunas são as coordenadas, na base \alpha, dos vetores de \gamma.
O primeiro vetor de \gamma é \displaystyle g_{1}=\binom{1}{2}.
Em relação à base canônica \alpha, suas coordenadas são (1,2).

Passo 3

O segundo vetor de \gamma é \displaystyle g_{2}=\binom{0}{1}.
Em relação à base canônica \alpha, suas coordenadas são (0,1).

Passo 4

Reunindo, a matriz que envia [\;x\;]_{\gamma} em [\;x\;]_{\alpha} tem colunas (1,2) e (0,1).

Resposta

[I_d]_{\gamma}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}

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