Exercício 5.5.10. Sejam \alpha=\left\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right\}, \beta=\left\{\binom{1}{1},\binom{-1}{1}\right\} e \gamma=\left\{\binom{1}{2},\binom{0}{1}\right\} Encontre as seguintes matrizes mudanças de base.
I d]_{\gamma}^{\beta}

Passo 1

O enunciado dá três bases de \mathbb{R}^2: \alpha=\bigl\{\binom{1}{0},\binom{0}{1}\bigr\} (base canônica), \beta=\bigl\{\binom{1}{1},\binom{-1}{1}\bigr\} e \gamma=\bigl\{\binom{1}{2},\binom{0}{1}\bigr\}.
Pede-se a matriz de mudança de base de \gamma para \beta, ou seja,
[\,\mathrm{Id}\,]_{\gamma}^{\beta},
que leva coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta. Para isso, vamos expressar cada vetor de \gamma na base \beta.

Passo 2

Chamemos de v_{1}=\binom{1}{2} e v_{2}=\binom{0}{1} os vetores de \gamma. A teoria diz que
[\,\mathrm{Id}\,]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix}[v_{1}]_{\beta}&[v_{2}]_{\beta}\end{pmatrix},
onde [v_{i}]_{\beta} é o vetor coluna de coordenadas de v_{i} na base \beta.

Passo 3

Para achar [v_{1}]_{\beta}\), escrevemos \[v_{1}=a\binom{1}{1}+b\binom{-1}{1} =\binom{a-b}{\,a+b\,},
e impomos \binom{a-b}{a+b}=\binom{1}{2}. Isso gera o sistema
\begin{cases} a - b = 1,\\\ a + b = 2. \end{cases}
Somando as duas equações obtém-se 2a=3\], logo \(a=\tfrac{3}{2}. Substituindo em a+b=2 b=\tfrac{1}{2}. Portanto,
[v_{1}]_{\beta} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para [v_{2}]_{\beta}\), escrevemos \[v_{2}=a\binom{1}{1}+b\binom{-1}{1} =\binom{a-b}{\,a+b\,} \stackrel{!}{=}\binom{0}{1}.
O sistema é
\begin{cases} a - b = 0,\\\ a + b = 1, \end{cases}
daí a=b\] e \(2a=1 conduz a a=b=\tfrac12. Logo,
[v_{2}]_{\beta} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[6pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Colocando as coordenadas como colunas, obtemos
[\,\mathrm{Id}\,]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix} \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

[\,\mathrm{Id}\,]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix} \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

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