Exercício 5.5.6. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e \beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base ordenada de V. Mostre que
a) w_{1}, \ldots, w_{k} \in V são L.I. se e somente se \left[w_{1}\right]_{\beta}, \ldots,\left[w_{k}\right]_{\beta} \in \mathbb{R}^{n} são L.I…
b) w_{1}, \ldots, w_{k} \in V geram V se e somente se \left[w_{1}\right]_{\beta}, \ldots,\left[w_{k}\right]_{\beta} \in \mathbb{R}^{n} geram \mathbb{R}^{n}
c) w_{1}, \ldots, w_{k} \in V formam uma base de V se e somente se \left[w_{1}\right]_{\beta}, \ldots,\left[w_{k}\right]_{\beta} \in \mathbb{R}^{n} formam uma base do \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão n com base ordenada \beta=\{v_{1},\dots,v_{n}\}, e que, para cada w\in V, escrevemos seu vetor de coordenadas em relação a \beta como \bigl[w\bigr]_{\beta}\in\mathbb{R}^n.
Conteúdo: vamos usar que o mapa
T\colon V \to \mathbb{R}^n,\quad T(w)=\bigl[w\bigr]_{\beta}
é um isomorfismo de espaços vetoriais (linear bijetivo). Sabendo que isomorfismos preservam dependência/independência linear e geração, mostraremos:
a) preserva L.I.;
b) preserva geração;
c) então preserva base (L.I. e geração juntas).

Passo 2

Prova de (a):
w_{1},\dots,w_{k} são L.I. em V” significa que, se
\alpha_{1}w_{1}+\cdots+\alpha_{k}w_{k}=0_V,
então todos os \alpha_{i}=0. Aplicando T (que é linear e injetivo) a essa combinação, obtemos
\alpha_{1}T(w_{1})+\cdots+\alpha_{k}T(w_{k}) =\alpha_{1}\bigl[w_{1}\bigr]_{\beta}+\cdots+\alpha_{k}\bigl[w_{k}\bigr]_{\beta} = T(0_V)=0\in\mathbb{R}^n.
Pela injetividade, a única forma de essa soma em \mathbb{R}^n ser zero é \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0. Logo \bigl[w_{1}\bigr]_{\beta},\dots,\bigl[w_{k}\bigr]_{\beta} são L.I.
O raciocínio inverso é igual: se uma combinação das coordenadas é zero em \mathbb{R}^n, aplicamos T^{-1} (também linear) e concluímos que a combinação dos w_i em V é zero só com coeficientes nulos. Portanto a independência é equivalente.

Passo 3

Prova de (b):
w_{1},\dots,w_{k} geram V” significa que, para todo v\in V, existem \alpha_{1},\dots,\alpha_{k} tal que
v=\alpha_{1}w_{1}+\cdots+\alpha_{k}w_{k}.
Aplicando T a ambos os lados,
T(v)=\alpha_{1}T(w_{1})+\cdots+\alpha_{k}T(w_{k}),
ou seja, \bigl[v\bigr]_{\beta} é combinação das coordenadas \bigl[w_{i}\bigr]_{\beta}. Como T é sobrejetivo, cada vetor de \mathbb{R}^n aparece como T(v) para algum v. Logo \bigl[w_{1}\bigr]_{\beta},\dots,\bigl[w_{k}\bigr]_{\beta} geram \mathbb{R}^n. O mesmo argumento invertido mostra o “se e somente se”.

Passo 4

Prova de (c):
Uma família é base de V se, e somente se, for simultaneamente L.I. e geradora de V. Pelo que foi mostrado em (a) e (b), isso acontece exatamente quando suas coordenadas formam uma família L.I. e geradora de \mathbb{R}^n, ou seja, são base de \mathbb{R}^n.

Resposta

a) Fato a seguir do isomorfismo T: \{w_{1},\dots,w_{k}\} é L.I. em V se, e somente se, \{\bigl[w_{1}\bigr]_{\beta},\dots,\bigl[w_{k}\bigr]_{\beta}\} é L.I. em \mathbb{R}^n.
b) Semelhantemente, \{w_{1},\dots,w_{k}\} gera V se, e somente se, \{\bigl[w_{1}\bigr]_{\beta},\dots,\bigl[w_{k}\bigr]_{\beta}\} gera \mathbb{R}^n.
c) Logo, \{w_{1},\dots,w_{k}\} é base de V se, e somente se, \{\bigl[w_{1}\bigr]_{\beta},\dots,\bigl[w_{k}\bigr]_{\beta}\} é base de \mathbb{R}^n.

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