Exercício 5.5.6. Seja
um espaço vetorial de dimensão
e
uma base ordenada de V. Mostre que
a)
são L.I. se e somente se
são L.I…
b)
geram
se e somente se
geram
c)
formam uma base de
se e somente se
formam uma base do
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
com base ordenada
, e que, para cada
, escrevemos seu vetor de coordenadas em relação a
como
.
Conteúdo: vamos usar que o mapa
Conteúdo: vamos usar que o mapa
é um isomorfismo de espaços vetoriais (linear bijetivo). Sabendo que isomorfismos preservam dependência/independência linear e geração, mostraremos:
a) preserva L.I.;
b) preserva geração;
c) então preserva base (L.I. e geração juntas).
a) preserva L.I.;
b) preserva geração;
c) então preserva base (L.I. e geração juntas).
Passo 2
Prova de (a):
“ são L.I. em
” significa que, se
“
então todos os
. Aplicando
(que é linear e injetivo) a essa combinação, obtemos
Pela injetividade, a única forma de essa soma em
ser zero é
. Logo
são L.I.
O raciocínio inverso é igual: se uma combinação das coordenadas é zero em , aplicamos
(também linear) e concluímos que a combinação dos
em
é zero só com coeficientes nulos. Portanto a independência é equivalente.
O raciocínio inverso é igual: se uma combinação das coordenadas é zero em
Passo 3
Prova de (b):
“ geram
” significa que, para todo
, existem
tal que
“
Aplicando
a ambos os lados,
ou seja,
é combinação das coordenadas
. Como
é sobrejetivo, cada vetor de
aparece como
para algum
. Logo
geram
. O mesmo argumento invertido mostra o “se e somente se”.
Passo 4
Prova de (c):
Uma família é base de se, e somente se, for simultaneamente L.I. e geradora de
. Pelo que foi mostrado em (a) e (b), isso acontece exatamente quando suas coordenadas formam uma família L.I. e geradora de
, ou seja, são base de
.
Uma família é base de
Resposta
a) Fato a seguir do isomorfismo
:
é L.I. em
se, e somente se,
é L.I. em
.
b) Semelhantemente, gera
se, e somente se,
gera
.
c) Logo, é base de
se, e somente se,
é base de
.
b) Semelhantemente,
c) Logo,