Exercício 10 Sejam
e
suas bases em
. Mostre que
tem determinante não nulo e que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas bases A e B de
e consideramos a aplicação linear identidade
. Precisamos mostrar que a matriz de mudança de base de A para B,
, tem determinante não nulo e que a matriz de volta,
, é exatamente a inversa de
.
Passo 2
Quando mudamos coordenadas de A para B e depois de B para A estamos, em termos de matrizes, compondo as duas transformações de mudança de base. Essa composição é a identidade no sistema de coordenadas A, então vale
Passo 3
Aplicando determinante em ambos os lados obtemos
Passo 4
Daí segue que
, provando a primeira parte. E, como o produto de
e
é a identidade, concluímos que
é a inversa de
.