Exercício 10 Sejam A e B suas bases em R^2. Mostre que [S]A, B tem determinante não nulo e que [S]B, A=[S]A, B^-1.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas bases A e B de R^2 e consideramos a aplicação linear identidade S=id:R^2toR^2. Precisamos mostrar que a matriz de mudança de base de A para B, [S]A,B, tem determinante não nulo e que a matriz de volta, [S]B,A, é exatamente a inversa de [S]A,B.

Passo 2

Quando mudamos coordenadas de A para B e depois de B para A estamos, em termos de matrizes, compondo as duas transformações de mudança de base. Essa composição é a identidade no sistema de coordenadas A, então vale

Passo 3

Aplicando determinante em ambos os lados obtemos
det([S]B,A);det([S]A,B) = det(I2) = 1

Passo 4

Daí segue que det([S]A,B)neq0, provando a primeira parte. E, como o produto de [S]B,A e [S]A,B é a identidade, concluímos que [S]B,A é a inversa de [S]A,B.

Resposta

det([S]A,B)neq0 e [S]B,A=[S]A,B^-1.

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