Questão 3 (2 pontos).
Determine a matriz de mudança entre as bases do
e
e usando essa matriz, determine as coordenadas do vetor
na base
.
Solução:
Queremos encontrar a matriz
tal que
onde
são as coordenadas em relação à base
e
em relação à
onde
Resolvendo essas equações, temos
Assim temos
o que pode ser verificado com
.
Queremos encontrar a matriz
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base de B={(1,0),(0,1)} para C={(1,1),(-1,0)} em
e, usando essa matriz, encontrar as coordenadas de
na base C. O conteúdo aqui é mudança de base e coordenadas de vetores, e vamos precisar expressar cada vetor da base B como combinação dos vetores da base C e depois multiplicar a matriz resultante por
.
Passo 2
Para obter a matriz
que leva coordenadas de B para C, usamos a regra: a j-ésima coluna de
são as coordenadas do j-ésimo vetor de B expresso na base C. Ou seja, se
é o j-ésimo vetor de B e
são os de C, então
Passo 3
Expressamos primeiro
em função de
e
. Montamos o sistema:
Isso dá o sistema
Passo 4
Da segunda equação vem
e, substituindo na primeira,
logo
. Então a primeira coluna de
é
.
Passo 5
Agora expressamos
assim:
Que leva ao sistema
Passo 6
Da segunda equação
e da primeira
logo
. Assim a segunda coluna de
é
. Portanto a matriz de mudança de base é
Passo 7
Para encontrar as coordenadas de
na base C, calculamos
Passo 8
Fazendo a multiplicação, obtemos
Resposta
A matriz de mudança de base de B para C é
e as coordenadas de
na base C são
.