Questão 3 (2 pontos).

Determine a matriz de mudança entre as bases do R^2 B=(1,0),(0,1) e C=(1,1),(-1,0) e usando essa matriz, determine as coordenadas do vetor vB=(2,2)^T na base C.
Solução:
Queremos encontrar a matriz TC B tal que
XC=AB C XB
onde XB são as coordenadas em relação à base B e XC em relação à B
AB C=(ll a11 & a12 a21 & a22 )^T
onde
& (1,0)=a11(1,1)+a12(-1,0) & (0,1)=a21(1,1)+a22(-1,0)
Resolvendo essas equações, temos
AB C=(cc 0 & -1 1 & 1 )^T=(cc 0 & 1 -1 & 1 )
Assim temos
XC=(cc 0 & 1 -1 & 1 )binom22=binom20,
o que pode ser verificado com (2,2)=2(1,1)+0(-1,0).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de B={(1,0),(0,1)} para C={(1,1),(-1,0)} em R^2 e, usando essa matriz, encontrar as coordenadas de v=(2,2)^T na base C. O conteúdo aqui é mudança de base e coordenadas de vetores, e vamos precisar expressar cada vetor da base B como combinação dos vetores da base C e depois multiplicar a matriz resultante por v.

Passo 2

Para obter a matriz A que leva coordenadas de B para C, usamos a regra: a j-ésima coluna de A são as coordenadas do j-ésimo vetor de B expresso na base C. Ou seja, se bj é o j-ésimo vetor de B e c1,c2 são os de C, então
bj = A1j,c1 + A2j,c2

Passo 3

Expressamos primeiro b1=(1,0) em função de c1=(1,1) e c2=(-1,0). Montamos o sistema:
(1,0)=a11(1,1)+a21(-1,0)
Isso dá o sistema
a11-a21=1a11=0

Passo 4

Da segunda equação vem a11=0 e, substituindo na primeira, -a21=1 logo a21=-1. Então a primeira coluna de A é (0,-1)^T.

Passo 5

Agora expressamos b2=(0,1) assim:
(0,1)=a12(1,1)+a22(-1,0)
Que leva ao sistema
a12-a22=0a12=1

Passo 6

Da segunda equação a12=1 e da primeira 1-a22=0 logo a22=1. Assim a segunda coluna de A é (1,1)^T. Portanto a matriz de mudança de base é
A=0 & 1-1 & 1

Passo 7

Para encontrar as coordenadas de v=(2,2)^T na base C, calculamos
[v]C = A,[v]B = 0 & 1-1 & 122

Passo 8

Fazendo a multiplicação, obtemos
[v]C = 0cdot2 + 1cdot2 -1cdot2 + 1cdot2 = 20

Resposta

A matriz de mudança de base de B para C é A=0 & 1-1 & 1 e as coordenadas de v=(2,2)^T na base C são (2,0)^T.

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