Exercício 9 Considere em R^2 as bases A=(1,1),(2,0) e [S]B, A=[cc -1 & 1 1 & -2 ] tais que
v1
Obtenha v2 e .

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^2: a base A=a1,a2 com a1=(1,1) e a2=(2,0), e a base B=v1,v2. Ele também fornece a matriz de mudança de base de B para A dada por [S]B,A. Precisamos encontrar os vetores v1,e v2 em coordenadas usuais.

Passo 2

Sabemos que, quando S é a transformação identidade, a matriz [S]B,A é exatamente a matriz de mudança de coordenadas de B para A. Isso significa que as colunas de [S]B,A são as coordenadas de v1 e v2 na base A.

Passo 3

As coordenadas de v1 na base A são dadas pela primeira coluna de , isto é, [S]B,A]. Logo,
(-1,1)
Como v1 = -1,a1 + 1,a2 e a1=(1,1), temos
a2=(2,0)

Passo 4

De modo análogo, as coordenadas de v2 na base A são a segunda coluna de [S]B,A, ou seja, (1,-2). Então,
v2 = 1,a1 + (-2),a2
Substituindo a1 e a2, fica
v2 = 1,(1,1) - 2,(2,0) = ( 1-4, 1-0 ) = (-3,1)

Resposta

v_{1} = (1, -1), \quad v_{2} = (-3, 1)

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