Exercício 9 Considere em
as bases
e
tais que
Obtenha
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases de
: a base
com
e
, e a base
. Ele também fornece a matriz de mudança de base de
para
dada por
. Precisamos encontrar os vetores
em coordenadas usuais.
Passo 2
Sabemos que, quando
é a transformação identidade, a matriz
é exatamente a matriz de mudança de coordenadas de
para
. Isso significa que as colunas de
são as coordenadas de
e
na base
.
Passo 3
As coordenadas de
na base
são dadas pela primeira coluna de , isto é,
. Logo,
Como
Passo 4
De modo análogo, as coordenadas de
na base
são a segunda coluna de
, ou seja,
. Então,
Substituindo
Resposta
v_{1} = (1, -1), \quad v_{2} = (-3, 1)