Questão 2 (valor 3 pontos).
Determine os valores
para que o conjunto dado abaixo seja base do espaço
:
Solução:
Para que o conjunto
seja base e precisa ser LI e gerar todo o espaço
. Para ser LI, as CLs dos elementos precisam satisfazer:
somente com
. Temos
então imediatamente temos
e precisamos encontrar
tal que:
e
Das duas equações podemos escrever:
Que implica que
somente se
, então devemos ter
. Nesse caso, como
, se
, também temos
.
Os elementos de
,
podem ser todos gerados pelas CLs
com a devida restrição de
.
Para que o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
para que o conjunto
seja base de
. O conteúdo envolve independência linear e geração num espaço de dimensão 4.
Passo 2
Para verificar independência linear, montamos a combinação
Igualando entradas, obtemos
Passo 3
Resolvendo o sistema
usamos
na segunda equação e achamos
Passo 4
Como
e portanto
só ocorrem quando
, isso exige
para que a única solução seja trivial
. Assim, temos independência linear exatamente se
.
Passo 5
Num espaço de dimensão 4, ter 4 vetores linearmente independentes garante que eles também gerem todo o espaço, logo formam base quando
.