Questão 2 (valor 3 pontos).

Determine os valores alpha in R para que o conjunto dado abaixo seja base do espaço M2 times 2(R) :
B=(ll 1 & 0 0 & alpha ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(cc alpha & 0 0 & 1 ),(ll 0 & 0 1 & 0 )
Solução:
Para que o conjunto B seja base e precisa ser LI e gerar todo o espaço M2 times 2(R). Para ser LI, as CLs dos elementos precisam satisfazer:
a(ll 1 & 0 0 & alpha )+b(ll 0 & 1 0 & 0 )+c(cc alpha & 0 0 & 1 )+d(ll 0 & 0 1 & 0 )=(ll 0 & 0 0 & 0 ),
somente com a=b=c=d=0. Temos
(cc a+alpha c & b d & alpha a+d )=(ll 0 & 0 0 & 0 ),
então imediatamente temos b=d=0 e precisamos encontrar alpha tal que:
a+alpha c=0
e
alpha a+c=0
Das duas equações podemos escrever:
a(1-alpha^2)=0
Que implica que a=0 somente se 1-alpha^2 neq 0, então devemos ter alpha neq pm 1. Nesse caso, como c=-alpha a, se a=0, também temos c=0.
Os elementos de M2 times 2(R),
(cc x & y z & w )
podem ser todos gerados pelas CLs
a(ll 1 & 0 0 & alpha )+b(ll 0 & 1 0 & 0 )+c(cc alpha & 0 0 & 1 )+d(ll 0 & 0 1 & 0 )=(cc a+c alpha & b c & a alpha+c )
com a devida restrição de alpha.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de alphainR para que o conjunto
B=1&00&alpha,0&10&0,alpha&00&1,0&01&0
seja base de M2times2(R). O conteúdo envolve independência linear e geração num espaço de dimensão 4.

Passo 2

Para verificar independência linear, montamos a combinação
a1&00&alpha + b0&10&0 + calpha&00&1 + d0&01&0 = 0&00&0
Igualando entradas, obtemos
b=0, d=0, a+alpha c=0, alpha a+c=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
a+alpha c=0, alpha a+c=0,
usamos a=-alpha c na segunda equação e achamos
-alpha^2 c + c=0 Longrightarrow c,(1-alpha^2)=0

Passo 4

Como c=0 e portanto a=0 só ocorrem quando 1-alpha^2neq0, isso exige alphaneqpm1 para que a única solução seja trivial a=b=c=d=0. Assim, temos independência linear exatamente se alphaneqpm1.

Passo 5

Num espaço de dimensão 4, ter 4 vetores linearmente independentes garante que eles também gerem todo o espaço, logo formam base quando alphaneqpm1.

Resposta

alphainRsetminuspm1

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