Exercício 10. Sendo
o último vetor da base canônica do
, considere o hiperplano
Para
com
, mostre que
Passo 1
Vamos reinterpretar o problema em coordenadas. O hiperplano
é isomorfo a
via
. Se escrevemos
com
e
, então
Vamos estudar a convergência dessa integral, pois o enunciado pede um valor finito.
Passo 2
Examinamos o comportamento para
. Quando
é grande,
. Logo o integrando assintoticamente vale
Em coordenadas esféricas em
, o elemento de volume é
. Assim, para
grande a integral radial se comporta como
Passo 3
O integral
converge se, e somente se, o expoente
, isto é,
.
- Para
temos e a integral converge. - Para
temos e a integral diverge logaritmicamente. - Para
a integral diverge em potência.
Resposta
Para todo
a integral
é divergente, logo não existe um valor finito que seja igual a
. Apenas no caso trivial
a igualdade admite sentido e coincidentemente dá
Portanto o enunciado, conforme está, só faz sentido em dimensão
.