Exercício 10. Sendo ed in R^d o último vetor da base canônica do R^d, considere o hiperplano
H:=ed^perp=y in R^d ; yd=0
Para tildex in R^d com tildexd>0, mostre que
integralH 1|x-tildex| d x=d omegad2 tildexd

Passo 1

Vamos reinterpretar o problema em coordenadas. O hiperplano
H=yinR^dcolon yd=0
é isomorfo a R^d-1 via (x1,dots,xd-1,0)mapsto (x1,dots,xd-1). Se escrevemos tilde x=(tilde x',tilde xd) com tilde x'inR^d-1 e tilde xd>0, então
integralH1lvert x-tilde xrvert,dx =integralR^d-11raizlvert u-tilde x'rvert^2+tilde xd^2;du
Vamos estudar a convergência dessa integral, pois o enunciado pede um valor finito.

Passo 2

Examinamos o comportamento para lvert urverttoinfty. Quando lvert urvert é grande, raizlvert u-tilde x'rvert^2+tilde xd^2simlvert urvert. Logo o integrando assintoticamente vale
1raizlvert u-tilde x'rvert^2+tilde xd^2 ;sim;1lvert urvert
Em coordenadas esféricas em R^d-1, o elemento de volume é r^d-2dr,dSd-2. Assim, para r grande a integral radial se comporta como
integral^inftyr^d-21r,dr =integral^inftyr^,d-3,dr

Passo 3

O integral
integralR^inftyr^,d-3,dr
converge se, e somente se, o expoente d-3< -1, isto é, d<2.
  • Para d=1 temos d-3=-2 e a integral converge.
  • Para d=2 temos d-3=-1 e a integral diverge logaritmicamente.
  • Para d>=3 a integral diverge em potência.

Resposta

Para todo d>=2 a integral
integralH1lvert x-tilde xrvert,dx
é divergente, logo não existe um valor finito que seja igual a tfracd,omegad2,tilde xd. Apenas no caso trivial d=1 a igualdade admite sentido e coincidentemente dá
integral01lvert 0-tilde xrvert,dx =1tilde xd e 1cdotomega12,tilde xd =22,tilde xd =1tilde xd
Portanto o enunciado, conforme está, só faz sentido em dimensão d=1.

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