Nos Problemas 11-18, use a Definição 7.1.1 para determinar Lf(t).
f(t)=t cos t

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Laplace de f(t)=tcos t usando a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Aqui vamos aplicar integração por partes para avaliar
I(s)=integral0^inftyt,cos t,e^-st,dt

Passo 2

Para organizar a conta, definimos duas integrais auxiliares:
I(s)=integral0^inftyt,e^-stcos t,dt e J(s)=integral0^inftyt,e^-stsin t,dt

Passo 3

Fazendo integração por partes em I(s) com
u=t, dv=e^-stcos t,dt,
temos du=dt e, lembrando que
integral0^inftye^-stcos t,dt=ss^2+1,
obtemos
I(s) =l[-t,e^-stcos tsr]0^infty +1sintegral0^inftye^-stl(cos t - tsin tr),dt =1sl(ss^2+1-J(s)r)

Passo 4

Agora integramos por partes em J(s) usando
u=t, dv=e^-stsin t,dt
e lembrando as transformadas básicas
integral0^inftye^-stsin t,dt=1s^2+1
e
integral0^inftye^-stcos t,dt=ss^2+1.
Isso dá
J(s) =1s^2+1l(scdot1s^2+1+ss^2+1r) =2s(s^2+1)^2

Passo 5

Substituindo J(s) em
I(s)=1sl(tfracss^2+1-J(s)r),
temos
I(s) =1sl(ss^2+1-2s(s^2+1)^2r) =s(s^2+1)-2ss,(s^2+1)^2 =s^2-1(s^2+1)^2

Resposta

Ltcos t(s) =s^2-1(s^2+1)^2

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