Exercício 10: Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Estratégia (explicação didática da regra que vamos usar): quando
é função de duas variáveis
e
, que por sua vez dependem de
, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
— ou seja, derivamos em
tratando
como constante — e
é análogo, derivando em
tratando
como constante. Depois multiplicamos cada parcial pela derivada da respectiva variável em relação a
e somamos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : como é constante, é constante; fica .
Portanto
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
- Derivada de
em relação a é (não depende de ). - Derivada de
em relação a : é constante, derivada de é , então dá .
Portanto
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e substituir as derivadas parciais e
:
Agora substituir
e
.
Calcular passo a passo:
-
. -
.
Logo
Multiplicando por
:
Agora a outra parcela:
-
. -
.
Multiplicando por:
Somando as duas parcelas:
Opcionalmente fatorando para ficar mais compacto: