Exercício 10: Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.
z=x^{3}-3 x y^{2} ; x=2 t, y=t^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{dz}{dt}.
Informações dadas:
z = x^{3} - 3 x y^{2},
x = 2t,
y = t^{2}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática da regra que vamos usar): quando z é função de duas variáveis x e y, que por sua vez dependem de t, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula é
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x — ou seja, derivamos em x tratando y como constante — e \dfrac{\partial z}{\partial y} é análogo, derivando em y tratando x como constante. Depois multiplicamos cada parcial pela derivada da respectiva variável em relação a t e somamos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z.
Derivando z = x^{3} - 3 x y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
  • Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • Derivada de -3 x y^{2} em relação a x: como y é constante, y^{2} é constante; fica -3 y^{2}.
    Portanto
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^{2} - 3y^{2}.
Derivando z em relação a y (tratando x como constante):
  • Derivada de x^{3} em relação a y é 0 (não depende de y).
  • Derivada de -3 x y^{2} em relação a y: x é constante, derivada de y^{2} é 2y, então dá -3x\cdot 2y = -6xy.
    Portanto
\frac{\partial z}{\partial y} = -6xy.

Passo 4

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2,
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{2}) = 2t.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e substituir as derivadas parciais e \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}:
\frac{dz}{dt} = \bigl(3x^{2}-3y^{2}\bigr)\cdot 2 + \bigl(-6xy\bigr)\cdot (2t).
Agora substituir x=2t e y=t^{2}.
Calcular passo a passo:
  • x^{2} = (2t)^{2} = 4t^{2}.
  • y^{2} = (t^{2})^{2} = t^{4}.
    Logo
3x^{2}-3y^{2} = 3(4t^{2}) - 3(t^{4}) = 12t^{2} - 3t^{4}.
Multiplicando por 2:
\bigl(3x^{2}-3y^{2}\bigr)\cdot 2 = 2(12t^{2} - 3t^{4}) = 24t^{2} - 6t^{4}.
Agora a outra parcela:
  • xy = (2t)(t^{2}) = 2t^{3}.
  • -6xy = -6(2t^{3}) = -12t^{3}.
    Multiplicando por 2t:
\bigl(-6xy\bigr)\cdot(2t) = (-12t^{3})\cdot(2t) = -24t^{4}.
Somando as duas parcelas:
\frac{dz}{dt} = (24t^{2} - 6t^{4}) + (-24t^{4}) = 24t^{2} - 30t^{4}.
Opcionalmente fatorando para ficar mais compacto:
\frac{dz}{dt} = 6t^{2}\,(4 - 5t^{2}).

Resposta

\dfrac{dz}{dt} = 24t^{2} - 30t^{4}

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