Exercício 10: Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.
z=x \ln y ; x=3 t, y=e^{t}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \dfrac{dz}{dt}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
z = x \ln y,
x = 3t,
y = e^{t}.
Portanto temos uma função z que depende de duas variáveis x e y, e cada uma dessas variáveis é dada como função de t. O objetivo é encontrar a derivada de z em relação a t, isto é \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Conceito essencial — regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática):
Quando z depende de x e y e x e y dependem de t, a derivada de z em relação a t é dada pela soma das contribuições de cada variável intermediária. A fórmula é
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x, tratando y como constante;
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y, tratando x como constante;
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das funções x(t) e y(t).
Essa fórmula é a aplicação da regra da cadeia no caso de duas variáveis intermediárias. Pense assim: mudanças em t afetam z via mudanças em x e via mudanças em y; somamos essas duas “rotas” de influência.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de z. Temos z = x \ln y. Tratando x e y como variáveis independentes:
Derivada parcial em relação a x (mantendo y fixo):
\frac{\partial z}{\partial x} = \ln y,
pois \ln y é constante quando derivamos em relação a x e a derivada de x em relação a x é 1.
Derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo):
\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot\frac{d}{dy}(\ln y) = x\cdot\frac{1}{y} = \frac{x}{y}.
Aqui usei que \dfrac{d}{dy}\ln y = \dfrac{1}{y}.

Passo 4

Calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das funções fornecidas x=3t e y=e^{t}.
Derivada de x:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t) = 3.
Derivada de y:
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{t}) = e^{t}.
Lembrete rápido: a derivada de e^{t} é e^{t} mesmo.

Passo 5

Agora aplique a fórmula da regra da cadeia juntando as partes calculadas:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x} = \ln y, \dfrac{dx}{dt}=3, \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{x}{y}, \dfrac{dy}{dt}=e^{t}, obtemos
\frac{dz}{dt} = (\ln y)\cdot 3 + \left(\frac{x}{y}\right)\cdot e^{t}.

Passo 6

Agora substituímos as expressões de x e y dadas pelo enunciado: x=3t e y=e^{t}.
Primeiro note que \ln y = \ln(e^{t}) = t (pois o logaritmo natural anula a exponencial).
Substituindo na expressão:
\frac{dz}{dt} = 3\cdot t + \left(\frac{3t}{e^{t}}\right)\cdot e^{t}.

Passo 7

Simplifique o segundo termo:
\left(\frac{3t}{e^{t}}\right)\cdot e^{t} = 3t\cdot\frac{e^{t}}{e^{t}} = 3t\cdot 1 = 3t.
Portanto
\frac{dz}{dt} = 3t + 3t = 6t.

Passo 8

Verificação rápida (checo por curiosidade, não para substituir a regra da cadeia): podemos também substituir x e y diretamente em z antes de derivar:
z = x\ln y = (3t)\ln(e^{t}) = 3t\cdot t = 3t^{2}.
Derivando em relação a t:
\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^{2}) = 6t,
o mesmo resultado — boa confirmação de que os passos anteriores estão corretos.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=6t

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