Exercício 10: Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Portanto temos uma função
que depende de duas variáveis
e
, e cada uma dessas variáveis é dada como função de
. O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, isto é
.
Passo 2
Conceito essencial — regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática):
Quando depende de
e
e
e
dependem de
, a derivada de
em relação a
é dada pela soma das contribuições de cada variável intermediária. A fórmula é
Quando
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante; -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante; -
e são as derivadas das funções e .
Essa fórmula é a aplicação da regra da cadeia no caso de duas variáveis intermediárias. Pense assim: mudanças em
afetam
via mudanças em
e via mudanças em
; somamos essas duas “rotas” de influência.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
. Temos
. Tratando
e
como variáveis independentes:
Derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo):
pois
é constante quando derivamos em relação a
e a derivada de
em relação a
é
.
Derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo):
Aqui usei que
.
Passo 4
Calcule
e
a partir das funções fornecidas
e
.
Derivada de
:
Derivada de
:
Lembrete rápido: a derivada de
é
mesmo.
Passo 5
Agora aplique a fórmula da regra da cadeia juntando as partes calculadas:
Substituindo
,
,
,
, obtemos
Passo 6
Agora substituímos as expressões de
e
dadas pelo enunciado:
e
.
Primeiro note que
(pois o logaritmo natural anula a exponencial).
Substituindo na expressão:
Passo 7
Simplifique o segundo termo:
Portanto
Passo 8
Verificação rápida (checo por curiosidade, não para substituir a regra da cadeia): podemos também substituir
e
diretamente em
antes de derivar:
Derivando em relação a
:
o mesmo resultado — boa confirmação de que os passos anteriores estão corretos.