Exercício 10. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado:
Abaixo do plano acima do disco .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando coordenadas polares. O sólido que queremos encontrar o volume está abaixo do plano e acima do disco . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que o domínio é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área se transforma em . Isso vai facilitar a integração sobre o disco .
Passo 3
Agora, vamos expressar o plano em termos de :
Substituindo e pelas coordenadas polares:
Esse representa a altura do sólido em cada ponto do disco.
Passo 4
O volume do sólido pode ser obtido integrando essa altura sobre a área do disco. Em coordenadas polares, a integral fica:
Aqui, varia de 0 a 1 (raio do disco) e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Distribuindo :
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 -2r^2 cos theta , dr = -2 cos theta cdot r^33 |0^1 = -23 cos theta
integral0^1 -r^2 sin theta , dr = -sin theta cdot r^33 |0^1 = -13 sin theta
Somando tudo:
2 - 23 cos theta - 13 sin theta
Passo 6
Agora, vamos integrar isso em relação a theta de 0 a 2pi:
V = integral0^2pi (2 - 23 cos theta - 13 sin theta) dtheta
Integrando termo a termo:
integral0^2pi 2 , dtheta = 2theta |0^2pi = 4pi
integral0^2pi -23 cos theta , dtheta = -23 sin theta |0^2pi = 0
integral0^2pi -13 sin theta , dtheta = 13 cos theta |0^2pi = 0