Exercício 10. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado:
Abaixo do plano 2 x+y+z=4 e acima do disco x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando coordenadas polares. O sólido que queremos encontrar o volume está abaixo do plano 2x + y + z = 4 e acima do disco x^2 + y^2 <= 1. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que o domínio é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
E o elemento de área dx , dy se transforma em r , dr , dtheta. Isso vai facilitar a integração sobre o disco x^2 + y^2 <= 1.

Passo 3

Agora, vamos expressar o plano 2x + y + z = 4 em termos de z:
z = 4 - 2x - y
Substituindo x e y pelas coordenadas polares:
z = 4 - 2(r cos theta) - (r sin theta)
Esse z representa a altura do sólido em cada ponto do disco.

Passo 4

O volume V do sólido pode ser obtido integrando essa altura sobre a área do disco. Em coordenadas polares, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^1 (4 - 2r cos theta - r sin theta) r , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 a 1 (raio do disco) e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a r:
integral0^1 (4 - 2r cos theta - r sin theta) r , dr
Distribuindo r:
integral0^1 (4r - 2r^2 cos theta - r^2 sin theta) dr
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 4r , dr = 2r^2 |0^1 = 2
integral0^1 -2r^2 cos theta , dr = -2 cos theta cdot r^33 |0^1 = -23 cos theta
integral0^1 -r^2 sin theta , dr = -sin theta cdot r^33 |0^1 = -13 sin theta
Somando tudo:
2 - 23 cos theta - 13 sin theta

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a theta de 0 a 2pi:
V = integral0^2pi (2 - 23 cos theta - 13 sin theta) dtheta
Integrando termo a termo:
integral0^2pi 2 , dtheta = 2theta |0^2pi = 4pi
integral0^2pi -23 cos theta , dtheta = -23 sin theta |0^2pi = 0
integral0^2pi -13 sin theta , dtheta = 13 cos theta |0^2pi = 0
Então, o volume total é:
V = 4pi

Resposta

O volume do sólido é 4pi unidades cúbicas.

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