Exercício 10 Para uma variável aleatória X, defina Y como o menor inteiro maior ou igual a X, isto é,
Y=\lceil X\rceil=\min \{k \in \mathbb{Z}: X \geq k\}
Determine a f.p de Y para as variáveis X dadas nos Exercícios 5 e 9 .

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a f.p. de Y para as variáveis X dadas nos Exercícios 5 e 9”, onde
Y=\lceil X\rceil=\min\{k\in\mathbb{Z}: X\ge k\}.
Informações relevantes que eu precisaria ter (mas que não foram enviadas neste enunciado):
  • A distribuição completa de X no Exercício 5 (ex.: se é contínua com pdf f_X, ou discreta com pmf \Pr(X=n), ou mista; e os parâmetros).
  • A distribuição completa de X no Exercício 9 (mesma observação).
    Sem esses dados explícitos não é possível calcular numericamente ou escrever a f.p. específica de Y para esses dois exercícios.

Passo 2

O que significa Y=\lceil X\rceil em termos de eventos (isto é, como relacionar \{Y=k\} com eventos sobre X)?
  • Para um inteiro k vale
\{Y=k\}=\{\,k-1 < X \le k\,\}.
Explicação curta e intuitiva: \lceil X\rceil=k quando k é o menor inteiro maior ou igual a X. Isso ocorre exatamente quando X está estritamente maior que k-1 e menor ou igual a k. Note que o lado direito é fechado em k (porque se X=k então \lceil X\rceil=k) e aberto em k-1 (se X=k-1 então \lceil X\rceil=k-1, não k).

Passo 3

Fórmula geral da f.p. de Y. Para todo inteiro k,
p_Y(k)=\Pr(Y=k)=\Pr(k-1 < X \le k)=F_X(k)-F_X(k-1),
onde F_X é a função de distribuição acumulada (CDF) de X, definida por F_X(x)=\Pr(X\le x).
Comentário: esta expressão é válida independentemente de X ser contínua, discreta ou mista — basta conhecer F_X.

Passo 4

Formas práticas de calcular p_Y(k) dependendo do tipo de X
  1. Se X for contínua com densidade f_X, então
p_Y(k)=\int_{k-1}^{k} f_X(x)\,dx.
Aqui usamos que para variáveis contínuas \Pr(a<X\le b)=\int_a^b f_X(x)\,dx.
  1. Se X for discreta com suporte em inteiros (isto é, \Pr(X=n) definido para n\in\mathbb{Z}), então
p_Y(k)=\Pr(X=k),
porque o intervalo (k-1,k] contém exatamente o inteiro k. Em outras palavras, quando X só assume valores inteiros, \lceil X\rceil=X e as probabilidades coincidem.
  1. Se X for discreta mas com valores não-inteiros (por exemplo meio-inteiros), ou mista, então use diretamente a diferença de CDFs ou somas/integras sobre a faixa (k-1,k]:
p_Y(k)=\sum_{x\in (k-1,k]} \Pr(X=x) \quad\text{(se houver átomos na faixa)}\quad+\quad\int_{(k-1,k]} f_X(x)\,dx\quad\text{(se houver parte contínua)}.áí

Passo 5

Interpretação prática e dicas para fazer isso rápido na prova
  • Sempre primeiro escreva a expressão universal
p_Y(k)=F_X(k)-F_X(k-1).
  • Se te derem f_X calcule a integral entre k-1 e k. Se te derem \Pr(X=n) para inteiros, simplesmente leia \Pr(X=k).
  • Para um número finito de ks (por exemplo, k=1,2,3), repita a fórmula para esses k e verifique que as probabilidades somam 1 (ponto de checagem rápido).
  • Atenção aos extremos do suporte: se o suporte de X começa em, digamos, 0, então para k\le 0 algumas probabilidades serão zero; e para k muito grandes também.

Passo 6

Exemplos ilustrativos (para fixar a técnica)
Exemplo A — X\sim \text{Uniforme}(0,3) (pdf f_X(x)=1/3 em (0,3)):
Calcular p_Y(1),p_Y(2),p_Y(3).
p_Y(1)=\int_{0}^{1}\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3},\qquad p_Y(2)=\int_{1}^{2}\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3},\qquad p_Y(3)=\int_{2}^{3}\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}.
Os outros p_Y(k) são 0. Aqui usei o caso contínuo e a fórmula da integral.
Exemplo B — X discreta com \Pr(X=n)=2^{-n} para n=1,2,\dots (normalizada apropriadamente):
Se o suporte de X for inteiros positivos, então
p_Y(k)=\Pr(X=k)\quad\text{para }k=1,2,\dots
Aqui usei o caso discreto inteiro, onde \lceil X\rceil=X.
Esses exemplos mostram como aplicar rapidamente as fórmulas dependendo do tipo de X.

Passo 7

Aplicação direta aos Exercícios 5 e 9 e conclusão
  • Como os enunciados dos Exercícios 5 e 9 (as definições/parametrizações de X nesses exercícios) não foram fornecidos aqui, não há como escrever explicitamente a f.p. p_Y para esses casos específicos.
  • Para obter as respostas concretas basta aplicar a fórmula universal
p_Y(k)=F_X(k)-F_X(k-1)
usando a F_X (ou f_X ou a pmf de X) dada em cada um dos Exercícios 5 e 9. Se quiser, cole aqui o texto dos Exercícios 5 e 9 ou a expressão de f_X / \Pr(X=\cdot) que eu calculo passo a passo as p_Y(k) correspondentes — farei com calma e te explico cada integral/soma como em uma prova.

Resposta

Não é possível determinar a f.p. de Y porque os enunciados dos Exercícios 5 e 9, que definem a distribuição de X, não foram fornecidos.

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