Exercício 10 Para uma variável aleatória
, defina
como o menor inteiro maior ou igual a
, isto é,
Determine a f.p de
para as variáveis
dadas nos Exercícios 5 e 9 .
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a f.p. de
para as variáveis
dadas nos Exercícios 5 e 9”, onde
Informações relevantes que eu precisaria ter (mas que não foram enviadas neste enunciado):
- A distribuição completa de
no Exercício 5 (ex.: se é contínua com pdf , ou discreta com pmf , ou mista; e os parâmetros). - A distribuição completa de
no Exercício 9 (mesma observação).
Sem esses dados explícitos não é possível calcular numericamente ou escrever a f.p. específica depara esses dois exercícios.
Passo 2
O que significa
em termos de eventos (isto é, como relacionar
com eventos sobre
)?
- Para um inteiro
vale
Explicação curta e intuitiva:
quando
é o menor inteiro maior ou igual a
. Isso ocorre exatamente quando
está estritamente maior que
e menor ou igual a
. Note que o lado direito é fechado em
(porque se
então
) e aberto em
(se
então
, não
).
Passo 3
Fórmula geral da f.p. de
. Para todo inteiro
,
onde
é a função de distribuição acumulada (CDF) de
, definida por
.
Comentário: esta expressão é válida independentemente de ser contínua, discreta ou mista — basta conhecer
.
Comentário: esta expressão é válida independentemente de
Passo 4
Formas práticas de calcular
dependendo do tipo de
- Se
for contínua com densidade , então
Aqui usamos que para variáveis contínuas
.
- Se
for discreta com suporte em inteiros (isto é, definido para ), então
porque o intervalo
contém exatamente o inteiro
. Em outras palavras, quando
só assume valores inteiros,
e as probabilidades coincidem.
- Se
for discreta mas com valores não-inteiros (por exemplo meio-inteiros), ou mista, então use diretamente a diferença de CDFs ou somas/integras sobre a faixa :
Passo 5
Interpretação prática e dicas para fazer isso rápido na prova
- Sempre primeiro escreva a expressão universal
- Se te derem
calcule a integral entre e . Se te derem para inteiros, simplesmente leia . - Para um número finito de
s (por exemplo, ), repita a fórmula para esses e verifique que as probabilidades somam (ponto de checagem rápido). - Atenção aos extremos do suporte: se o suporte de
começa em, digamos, , então para algumas probabilidades serão zero; e para muito grandes também.
Passo 6
Exemplos ilustrativos (para fixar a técnica)
Exemplo A —
(pdf
em
):
Calcular .
Calcular
Os outros
são
. Aqui usei o caso contínuo e a fórmula da integral.
Exemplo B —
discreta com
para
(normalizada apropriadamente):
Se o suporte de for inteiros positivos, então
Se o suporte de
Aqui usei o caso discreto inteiro, onde
.
Esses exemplos mostram como aplicar rapidamente as fórmulas dependendo do tipo de
.
Passo 7
Aplicação direta aos Exercícios 5 e 9 e conclusão
- Como os enunciados dos Exercícios 5 e 9 (as definições/parametrizações de
nesses exercícios) não foram fornecidos aqui, não há como escrever explicitamente a f.p. para esses casos específicos. - Para obter as respostas concretas basta aplicar a fórmula universal
usando a
(ou
ou a pmf de
) dada em cada um dos Exercícios 5 e 9. Se quiser, cole aqui o texto dos Exercícios 5 e 9 ou a expressão de
/
que eu calculo passo a passo as
correspondentes — farei com calma e te explico cada integral/soma como em uma prova.
Resposta
Não é possível determinar a f.p. de
porque os enunciados dos Exercícios 5 e 9, que definem a distribuição de
, não foram fornecidos.